Determine o valor de (M+N)^2-(M-N)^2 quando M=sqrt (2+sqrt (3)) e N=sqrt (2-sqrt (3))

Para determinar o valor de $(M+N)^{2}-(M-N)^{2}$, podemos usar a identidade algébrica:

$$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$$

Neste caso, temos $a = M$ e $b = N$. Portanto, precisamos calcular $4MN$.

Primeiro, calculamos $MN$:

$$MN = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}}$$

Usando a propriedade dos produtos de raízes, temos:

$$MN = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$$

Calculamos o produto dentro da raiz:

$$(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$$

Portanto, $MN = \sqrt{1} = 1$.

Agora, substituímos na identidade:

$$4MN = 4 \times 1 = 4$$

Assim, o valor de $(M+N)^{2}-(M-N)^{2}$ é $4$.