4. (2,0) Verifique seT: R^3arrow R^3 dada por T:(x,y,z)=(x+z,y+z,x+y+2z) é diagonalizável.

Para verificar se a transformação linear T é diagonalizável, precisamos calcular a matriz diagonalizável de T. A matriz diagonalizável é dada por , onde A é a matriz de coeficientes da transformação T e P é a matriz dos vetores próprios de A.Primeiro, vamos calcular a matriz de coeficientes A da transformação T: Em seguida, vamos calcular os autovalores de A. Para isso, calculamos o determinante da matriz A - λI, onde λ é um escalar: Resolvendo o determinante, encontramos os autovalores: λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = 3.Agora, vamos calcular os vetores próprios correspondentes a cada autovalor. Para λ1 = 1, resolvemos o sistema (A - λ1I)X = 0: Obtemos o vetor próprio correspondente: v1 = [1, -1, 0].Para λ2 = 2, resolv sistema (A - λ2I)X = 0: Obtemos o vetor próprio correspondente: v2 = [1, 1, 1].Para λ3 = 3, resolvemos o sistema (A - λ3I)X = 0: Obtemos o vetor próprio correspondente: v3 = [1, 1, -1].A matriz diagonal P é formada pelos vetores próprios: A matriz diagonalizável de T é dada por .Portanto, a transformação T é diagonalizável.