10) Determine a area do triangulo com vértices X=(1,-2,3),Y=(-3,1,4),Z=(0,4,3)

Para determinar a área do triângulo com vértices \(X=(1,-2,3)\), \(Y=(-3,1,4)\) e \(Z=(0,4,3)\), podemos usar a fórmula da área de um triângulo dado seus vértices. A fórmula é: onde é o vetor diretor do triângulo, que é obtido pela diferença entre os vetores e , e é o vetor diretor do triângulo, que é obtido pela diferença entre os vetores e .Calculando os vetores e :\(\overrightarrow{XY} = \overrightarrow{Y} - \overrightarrow{X} = (-3,1,4) - (1,-2,3) = (-4,3,1)\)\(\overrightarrow{XZ} = \overrightarrow{Z} - \overrightarrow{X} = (0,4,3) - (1,-2,3) = (-1,6,0)\)Calculando o produto vetorial :\(\overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ} = (-4,3,1) \times (-1,6,0) = (18, -4, 22)\)Calculando o módulo do vetor resultante:\(\left| \overrightarrow{XY} \times \overrightarrow{XZ} \right| = \sqrt{18^2 + (-4)^2 + 22^2} = \sqrt{324 + 16 + 484} = \sqrt{824} = 2\sqrt{206}\)Portanto, a área do triângulo é: Portanto, a área do triângulo é .