1) y''+6y'+5y=0,y(0)=0,y'(0)=3 j) 2y''-2y'+y=0,y(0)=-1,y'(0)=0

Para resolver essas equações diferenciais, podemos usar o método dos coeficientes auxiliares.1) Para a primeira equação, temos: Podemos reescrever essa equação na forma característica: Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes: e Portanto, a solução geral da equação é: Usando as condições iniciais, temos: Resolvendo esse sistema de equações, encontramos: e Portanto, a solução da equação é: j) Para a segunda equação, temos: Podemos reescrever essa equ forma característica: Resolvendo essa equação quadrática, encontramos as raízes: e Portanto, a solução geral da equação éy(x) = c_1 e^{\frac{x}{2}} + c_2 e^x y(0) = c_1 + c_2 = -1 y'(0) = \frac{c_1}{2} + c_2 = 0 c_1 = 2 c_2 = -3 y(x) = 2e^{\frac{x}{2}} - 3e^x$