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3. (2,0) uma partícula se move cm r^3 dc modo que no instante t sua posiçao scja r'(t')= 3sin^2(t)cos[t'],3sinititcos^2vert t'vert

Question

3. (2,0) Uma partícula se move cm R^3 dc modo que no instante t sua posiçao scja r'(t')= 3sin^2(t)cos[t'],3sinititcos^2vert t'vert ,3sinvert tvert cosvert t' ) . Calcule a integral de r entre os instantcs t_(1)=0ct_(2)=pi /2 Boa pro

Solution

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Valdir Elite · Tutor por 8 anos

Resposta

Para calcular a integral de r entre os instantes t1 = 0 e t2 = π/2, precisamos encontrar a diferença entre as posições correspondentes a esses instantes.Dada a função r'(t) = {3sin^2(t)cos(t), 3sin(t)cos^2(t), 3sin(|t|)cos(|t|)}, podemos integrar cada componente separadamente.Integrando a primeira componente em relação a t, obtemos:∫(3sin^2(t)cos(t)) dt = 3∫sin^2(t)cos(t) dtUsando a identidade trigonométrica sin^2(t) = (1 - cos(2t))/2, podemos reescrever a integral como:3∫(1 - cos(2t))/2 cos(t) dtSimplificando, temos:(3/2)∫(1 - cos(2t)) cos(t) dtPodemos separar a integral em duas partes:(3/2)∫ cos(t) dt - (3/2)∫ cos(2t) cos(t) dtA primeira parte da integral é simplesmente:(3/2)∫ cos(t) dt = (3/2)sin(t)Para resolver a segunda parte, podemos usar a identidade trigonométrica cos(2t) = 2cos^2(t) - 1:(3/2)∫ (2cos^2(t) - 1) cos(t) dtSimplificando, temos:(3/2)∫ (2cos^3(t) - cos(t)) dtPodemos separar a integral em duas partes:(3/2)∫ 2cos^3(t) dt - (3/2)∫ cos(t) dtA primeira parte da integral pode ser resolvida usando a substituição de variáveis. Seja u = cos(t), então du = -sin(t) dt. Reescrevendo a integral, temos:(3/2)∫ 2u^3 (-du/sin(t)) = -3∫ u^3 duUsando a fórmula de integração para u^3, temos:-3(u^4/4) = -(3/4)cos^4(t)A segunda parte da integral é simplesmente:(3/2)∫ cos(t) dt = (3/2)sin(t)Somando as duas partes, temos:(3/2)sin(t) - (3/4)cos^4(t)Agora, podemos calcular a integral da segunda componente em relação a t:∫(3sin(t)cos^2(t)) dtPodemos usar a identidade trigonométrica cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2 para reescrever a integral como:3∫sin(t)(1 + cos(2t))/2 dtSimplificando, temos:(3/2)∫sin(t)(1 + cos(2t)) dtPodemos separar a integral em duas partes:(3/2)∫ sin(t) dt + (3/2)∫ sin(t)cos(2t) dtA primeira parte da integral é simplesmente:(3/2)∫ sin(t) dt = (3/2)(-cos(t))Para resolver a segunda parte, podemos usar a substituição de variáveis. Seja u = sin(t), então du = cos(t) dt. Reescrevendo a integral, temos:(3/2)∫ u cos(2t) dtPodemos usar a identidade trigonométrica cos(2t) = 2cos^2(t) - 1 para reescrever a integral como:(3/2)∫ u(2cos^2(t) - 1) dtSimplificando, temos:(3/2)∫ 2u cos^2(t) dt - (3/2)∫ u dtA primeira parte da integral pode ser resolvida usando a substituição de variáveis. u = cos(t), então du = -sin(t) dt. Reescrevendo a integral, temos:(3/2)∫ 2u u^2 (-du/sin(t)) = -3∫ u^3 duUsando a fórmula de integração para u^3, temos:-3(u^4/4) = -(3/4)sin^4(t)A segunda parte da integral é simplesmente:(3/2)