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Física
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Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variavel, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superficie . A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a frea da superficie.Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY.Esse mêtodo permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Portanto , para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0,0),(5,0),(0,4) e (5,4) todos em centimetros , e cuja densidade de massa por frea em qualquer ponto Pé dada por 8(x,y)=2x^3yemg/cm^2 , assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa. A) 2500g. ) B) 1670g. C) 1840g. ) D) 1250g. E) 2120g.

Pergunta

Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variavel, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superficie . A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a frea da superficie.Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY.Esse mêtodo permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Portanto , para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0,0),(5,0),(0,4) e (5,4) todos em centimetros , e cuja densidade de massa por frea em qualquer ponto Pé dada por 8(x,y)=2x^3yemg/cm^2 , assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa. A) 2500g. ) B) 1670g. C) 1840g. ) D) 1250g. E) 2120g.

Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variavel, é fundamental compreender como a densidade se distribui ao longo da superficie . A função densidade descreve essa variação, e a massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a frea da superficie.Assim, para calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no plano XY.Esse mêtodo permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de toda a chapa. Portanto , para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0,0),(5,0),(0,4) e (5,4) todos em centimetros , e cuja densidade de massa por frea em qualquer ponto Pé dada por 8(x,y)=2x^3yemg/cm^2 , assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa dessa chapa. A) 2500g. ) B) 1670g. C) 1840g. ) D) 1250g. E) 2120g.

Solução

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FernandoMestre · Tutor por 5 anos

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Para calcular a massa da chapa, precisamos integrar a função de densidade \( \rho(x, y) = 2x^3y \) sobre a região retangular definida pelos vértices \((0,0)\), \((5,0)\), \((0,4)\) e \((5,4)\).<br /><br />A integral dupla para calcular a massa \( M \) é dada por:<br /><br />\[ M = \int_{0}^{5} \int_{0}^{4} 2x^3y \, dy \, dx. \]<br /><br />Primeiro, integramos em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{0}^{4} 2x^3y \, dy = 2x^3 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{4} = 2x^3 \cdot \frac{16}{2} = 16x^3. \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{0}^{5} 16x^3 \, dx = 16 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{5} = 16 \cdot \frac{625}{4} = 16 \cdot 156.25 = 2500. \]<br /><br />Portanto, a massa da chapa é 2500g.<br /><br />A resposta correta é a alternativa A) 2500g.
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