(sqrt (5))^x^(2)-((1)/(25))^x=0

Para resolver a equação \((\sqrt{5})^{x^2} - \left(\frac{1}{25}\right)^x = 0\), vamos reescrever os termos para facilitar a compreensão.<br /><br />Primeiro, note que \(\sqrt{5}\) pode ser escrito como \(5^{1/2}\) e \(\frac{1}{25}\) pode ser escrito como \(25^{-1}\) ou \(5^{-2}\).<br /><br />Assim, a equação se torna:<br />\[<br />(5^{1/2})^{x^2} - (5^{-2})^x = 0<br />\]<br /><br />Agora, aplicamos as propriedades das potências:<br />\[<br />5^{(1/2) \cdot x^2} - 5^{-2 \cdot x} = 0<br />\]<br /><br />Para que essa equação seja satisfeita, os termos devem ser iguais:<br />\[<br />5^{(1/2) \cdot x^2} = 5^{-2 \cdot x}<br />\]<br /><br />Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:<br />\[<br />\frac{1}{2} \cdot x^2 = -2 \cdot x<br />\]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:<br />\[<br />x^2 = -4x<br />\]<br /><br />Reorganizando a equação, temos:<br />\[<br />x^2 + 4x = 0<br />\]<br /><br />Fatoramos a equação:<br />\[<br />x(x + 4) = 0<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br />\[<br />x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -4<br />\]<br /><br />Para verificar, substituímos esses valores na equação original:<br /><br />Para \(x = 0\):<br />\[<br />(\sqrt{5})^{0^2} - \left(\frac{1}{25}\right)^0 = 1 - 1 = 0<br />\]<br /><br />Para \(x = -4\):<br />\[<br />(\sqrt{5})^{-4 \cdot (-4)} - \left(\frac{1}{25}\right)^{-4} = (\sqrt{5})^{16} - 25^4<br />\]<br /><br />Como \((\sqrt{5})^{16} = 5^8\) e \(25^4 = 5^8\), temos:<br />\[<br />5^8 - 5^8 = 0<br />\]<br /><br />Portanto, ambas as soluções são válidas. A solução correta é:<br />\[<br />x = 0 \quad \text{ou} \quad x = -4<br />\]