EXEMPLO 4 Determine a curvatura da cúbica retorcida r(t)=langle t,t^2,t^3rangle em um ponto gené- rico e em (0,0,0)

Para determinar a curvatura da cúbica retorcida $r(t)=\langle t,t^{2},t^{3}\rangle$ em um ponto genérico, precisamos calcular a derivada primeira e a derivada segunda da função de posição em relação ao parâmetro $t$.<br /><br />A derivada primeira é dada por $r'(t)=\langle 1,2t,3t^{2}\rangle$, e a derivada segunda é dada por $r''(t)=\langle 0,2,6t\rangle$.<br /><br />Para calcular a curvatura, precisamos calcular o produto vetorial entre a derivada primeira e a derivada segunda:<br /><br />$r'(t) \times r''(t) = \langle 1,2t,3t^{2}\rangle \times \langle 0,2,6t\rangle = \langle -6t^{3},6t^{2},-2t\rangle$<br /><br />Em seguida, calculamos a norma deste produto vetorial:<br /><br />$\|r'(t) \times r''(t)\| = \sqrt{(-6t^{3})^{2}+(6t^{2})^{2}+(-2t)^{2}} = \sqrt{36t^{6}+36t^{4}+4t^{2}}$<br /><br />A curvatura é então dada por:<br /><br />$\kappa(t) = \frac{\|r'(t) \times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^{3}}$<br /><br />Calculando a norma da derivada primeira:<br /><br />$\|r'(t)\| = \sqrt{1^{2}+(2t)^{2}+(3t^{2})^{2}} = \sqrt{1+4t^{2}+9t^{4}}$<br /><br />Substituindo na fórmula da curvatura, temos:<br /><br />$\kappa(t) = \frac{\sqrt{36t^{6}+36t^{4}+4t^{2}}}{(1+4t^{2}+9t^{4})^{\frac{3}{2}}}$<br /><br />Para calcular a curvatura em $(0,0,0)$, basta substituir $t=0$ na expressão acima:<br /><br />$\kappa(0) = \frac{\sqrt{0+0+0}}{(1+0+0)^{\frac{3}{2}}} = 0$<br /><br />Portanto, a curvatura da cúbica retorcida em $(0,0,0)$ é zero.