28. Determine o volume do sólido limitado pela superfície z=1+e^x sen y e pelos planos x=pm 1,y=0,y=pi e z=0

Para determinar o volume do sólido limitado pela superfície \( z = 1 + e^x \) sen \( y \) e pelos planos \( x = \pm 1 \), \( y = 0 \), \( y = \pi e \) e \( z = 0 \), precisamos calcular o integral triplo sobre o domínio dado.<br /><br />O domínio é dado pela região entre os planos \( x = -1 \) e \( x = 1 \), \( y = 0 \) e \( y = \pi e \), e \( z = 0 \).<br /><br />O volume do sólido é dado pela seguinte integral triplo:<br /><br />\[ V = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{\pi e} \int_{0}^{1+e^x} dz \, dy \, dx \]<br /><br />Primeiro, vamos calcular a integral em relação a \( z \):<br /><br />\[ \int_{0}^{1+e^x} dz = (1 + e^x) - 0 = 1 + e^x \]<br /><br />Agora, substituímos essa resultante na integral em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{0}^{\pi e} (1 + e^x) \, dy = (1 + e^x) \cdot (\pi e - 0) = (1 + e^x) \cdot \pi e \]<br /><br />Finalmente, substituímos essa resultante na integral em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{-1}^{1} \pi e (1 + e^x) \, dx \]<br /><br />Para resolver essa integral, podemos usar a propriedade de simetria da função \( e^x \). Como \( e^x \) é uma função simétrica em relação ao eixo \( y \), podemos calcular a integral de \( 0 \) a \( 1 \) e depois multiplicar por 2:<br /><br />\[ 2 \pi e \int_{0}^{1} (1 + e^x) \, dx \]<br /><br />Calculando a integral:<br /><br />\[ \int_{0}^{1} (1 + e^x) \, dx = \left[ x + e^x \right]_{0}^{1} = (1 + e) - (0 + 1) = e \]<br /><br />Multiplicando por 2:<br /><br />\[ 2 \pi e \cdot e = 2 \pi e^2 \]<br /><br />Portanto, o volume do sólido é \( 2 \pi e^2 \).