7) Quais dos seguintes conjuntos de vetores do R^3 são linearmente independentes? a) (1,1,0),(1,4,5),(3,6,5) b) (1,2,3),(1,4,9),(1,8,27) C) (1,2,1),(2,4,2),(5,10,5)

Para determinar se um conjunto de vetores é linearmente independente, precisamos verificar se a única solução para a equação linear \( c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + c_3 \mathbf{v}_3 = \mathbf{0} \) é \( c_1 = c_2 = c_3 = 0 \), onde \( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3 \) são os vetores do conjunto e \( c_1, c_2, c_3 \) são escalares.<br /><br />Vamos analisar cada conjunto de vetores fornecido:<br /><br />### a) \( \{ (1,1,0),(1,4,5),(3,6,5)\} \)<br /><br />Formamos a matriz dos coeficientes e verificamos a linearidade:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 1 & 0 \\<br />1 & 4 & 5 \\<br />3 & 6 & 5<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Calculamos o determinante dessa matriz:<br /><br />\[<br />\text{det} = 1 \cdot (4 \cdot 5 - 5 \cdot 6) - 1 \cdot (1 \cdot 5 - 0 \cdot 6) + 0 \cdot (1 \cdot 6 - 4 \cdot 3)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 \cdot (20 - 30) - 1 \cdot (5 - 0) + 0 \cdot (6 - 12)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 \cdot (-10) - 1 \cdot 5 + 0 \cdot (-6)<br />\]<br /><br />\[<br />= -10 - 5 + 0<br />\]<br /><br />\[<br />= -15<br />\]<br /><br />O determinante é não nulo (\(-15 \neq 0\)), então os vetores são linearmente independentes.<br /><br />### b) \( \{ (1,2,3),(1,4,9),(1,8,27)\} \)<br /><br />Formamos a matriz dos coeficientes e verificamos a linearidade:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 2 & 3 \\<br />1 & 4 & 9 \\<br />1 & 8 & 27<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Calculamos o determinante dessa matriz:<br /><br />\[<br />\text{det} = 1 \cdot (4 \cdot 27 - 9 \cdot 8) - 2 \cdot (1 \cdot 27 - 0 \cdot 8) + 3 \cdot (1 \cdot 8 - 4 \cdot 1)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 \cdot (108 - 72) - 2 \cdot (27 - 0) + 3 \cdot (8 - 4)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 \cdot 36 - 2 \cdot 27 + 3 \cdot 4<br />\]<br /><br />\[<br />= 36 - 54 + 12<br />\]<br /><br />\[<br />= -6<br />\]<br /><br />O determinante é não nulo (\(-6 \neq 0\)), então os vetores são linearmente independentes.<br /><br />### c) \( \{ (1,2,1),(2,4,2),(5,10,5)\} \)<br /><br />Formamos a matriz dos coeficientes e verificamos a linearidade:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />1 & 2 & 1 \\<br />2 & 4 & 2 \\<br />5 & 10 & 5<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Calculamos o determinante dessa matriz:<br /><br />\[<br />\text{det} = 1 \cdot (4 \cdot 5 - 2 \cdot 10) - 2 \cdot (2 \cdot 5 - 1 \cdot 10) + 1 \cdot (2 \cdot 10 - 4 \cdot 5)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 \cdot (20 - 20) - 2 \cdot (10 - 10) + 1 \cdot (20 - 20)<br />\]<br /><br />\[<br />= 1 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 1 \cdot 0<br />\]<br /><br />\[<br />= 0<br />\]<br /><br />O determinante é nulo (\(0 = 0\)), então os vetores são linearmente dependentes.<br /><br />### Conclusão<br /><br />Os conjuntos de vetores que são linearmente independentes são:<br /><br />- a) \( \{ (1,1,0),(1,4,5),(3,6,5)\} \)<br />- b) \( \{ (1,2,3),(1,4,9),(1,8,27)\} \)<br /><br />Port