Given the following function (a) find the vertex (b) determine whether there is a maximum or a minimum value, and find the value; (c)) find the range; and (d)find the intervals on which the function is increasing and the intervals on which the function is decreasing f(x)=4x^2-8x+9 (a) The vertex is square (Type an ordered pair using integers or fractions.) (b) Determine whether the parabola has a maximum value or a minimum value and find the value. Select the correct choice below and fill in the answer box within your choice (Type an integer or a fraction.) A. The parabola opens downward and has a maximum value of square B. The parabola opens upward and has a minimum value of square (c) What is the range of f(x)

Vamos a resolver el problema paso a paso.

La función dada es:

$$f(x) = 4x^2 - 8x + 9$$

Esta es una parábola porque tiene la forma $ax^2 + bx + c$, donde $a = 4$, $b = -8$, y $c = 9$.

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### **(a) Encontrar el vértice**

El vértice de una parábola en la forma estándar $f(x) = ax^2 + bx + c$ se encuentra usando las fórmulas:

$$x_{\text{vértice}} = -\frac{b}{2a}$$

Sustituyendo los valores de $a = 4$ y $b = -8$:

$$x_{\text{vértice}} = -\frac{-8}{2(4)} = \frac{8}{8} = 1$$

Ahora, para encontrar la coordenada $y$ del vértice, sustituimos $x = 1$ en la función $f(x)$:

$$f(1) = 4(1)^2 - 8(1) + 9 = 4 - 8 + 9 = 5$$

Por lo tanto, el vértice es:

$$\boxed{(1, 5)}$$

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### **(b) Determinar si hay un valor máximo o mínimo y encontrar ese valor**

El coeficiente $a = 4$ es positivo, lo que significa que la parábola abre hacia arriba. Por lo tanto, la función tiene un **valor mínimo** en el vértice.

El valor mínimo es la coordenada $y$ del vértice, que ya calculamos como $5$.

Respuesta:

$$\text{B. La parábola abre hacia arriba y tiene un valor mínimo de } \boxed{5}.$$

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### **(c) Encontrar el rango de $f(x)$**

Dado que la parábola abre hacia arriba y su valor mínimo ocurre en $y = 5$, el rango de $f(x)$ es:

$$\boxed{[5, \infty)}$$

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### **(d) Intervalos de aumento y disminución**

- La función **disminuye** antes del vértice ($x < 1$).
- La función **aumenta** después del vértice ($x > 1$).

Por lo tanto:

- Intervalo de disminución: $(-\infty, 1)$
- Intervalo de aumento: $(1, \infty)$

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### Resumen Final:

(a) El vértice es $\boxed{(1, 5)}$.
(b) La parábola abre hacia arriba y tiene un valor mínimo de $\boxed{5}$.
(c) El rango es $\boxed{[5, \infty)}$.
(d) Intervalo de disminución: $\boxed{(-\infty, 1)}$, intervalo de aumento: $\boxed{(1, \infty)}$.