6) Um comerciante contral um empréstimo de R 150.000,00 a juros simples de 18% a.a. e, ao final de alguns meses, obtém a rescisão do contrato de empréstimo , saldando o seu débito referente ao principal e ao juro do periodo ja decorrido. Substitul este empréstimo por outro de valor igual a R 200.000,00 a juros simples de 20% a.a., a ser saldado em 1 ano após a data do inicio do primeiro empréstimo. Verificando, ao final ter pago juros num total de RS34.583,33 referentes a ambos os empréstimos contralidos, pede-se: quanto tempo durou o segundo empréstimo? 71 Determine uma taxa anua de juros simples equivalente a taxa de 48% a.a. com capitalização trimestral, durante prazo de 2 anos

6) Para resolver esse problema, podemos usar a fórmula dos juros simples:<br /><br />\[ J = P \cdot i \cdot t \]<br /><br />Onde:<br />- \( J \) é o valor dos juros<br />- \( P \) é o principal (valor do empréstimo)<br />- \( i \) é a taxa de juros<br />- \( t \) é o tempo (em anos)<br /><br />Primeiro, vamos calcular o valor dos juros do primeiro empréstimo:<br /><br />\[ J_1 = P_1 \cdot i_1 \cdot t_1 \]<br /><br />\[ J_1 = 150.000 \cdot 0,18 \cdot t_1 \]<br /><br />\[ J_1 = 27.000 \cdot t_1 \]<br /><br />Agora, vamos calcular o valor dos juros do segundo empréstimo:<br /><br />\[ J_2 = P_2 \cdot i_2 \cdot t_2 \]<br /><br />\[ J_2 = 200.000 \cdot 0,20 \cdot t_2 \]<br /><br />\[ J_2 = 40.000 \cdot t_2 \]<br /><br />Sabemos que o total dos juros pagos é de R\$ 34.583,33:<br /><br />\[ J_1 + J_2 = 34.583,33 \]<br /><br />\[ 27.000 \cdot t_1 + 40.000 \cdot t_2 = 34.583,33 \]<br /><br />Como o segundo empréstimo foi saldado um ano após o primeiro empréstimo, temos:<br /><br />\[ t_2 = t_1 - 1 \]<br /><br />Substituindo \( t_2 \) na equação:<br /><br />\[ 27.000 \cdot t_1 + 40.000 \cdot (t_1 - 1) = 34.583,33 \]<br /><br />\[ 27.000 \cdot t_1 + 40.000 \cdot t_1 - 40.000 = 34.583,33 \]<br /><br />\[ 67.000 \cdot t_1 - 40.000 = 34.583,33 \]<br /><br />\[ 67.000 \cdot t_1 = 74.583,33 \]<br /><br />\[ t_1 = \frac{74.583,33}{67.000} \]<br /><br />\[ t_1 \approx 1,11 \text{ anos} \]<br /><br />Portanto, o segundo empréstimo durou aproximadamente \( t_2 = t_1 - 1 \approx 0,11 \text{ anos} \) ou cerca de 13 meses.<br /><br />7) Para determinar a taxa anual de juros simples equivalente a uma taxa de 48% a.a. com capitalização trimestral, durante o prazo de 2 anos, podemos usar a fórmula de conversão de taxas de juros:<br /><br />\[ i_{eq} = \left(1 + \frac{i}{n}\right)^n - 1 \]<br /><br />Onde:<br />- \( i_{eq} \) é a taxa anual equivalente<br />- \( i \) é a taxa anual nominal<br />- \( n \) é a frequência de capitalização por ano<br /><br />Neste caso, \( i = 0,48 \) e \( n = 4 \) (trimestral):<br /><br />\[ i_{eq} = \left(1 + \frac{0,48}{4}\right)^4 - 1 \]<br /><br />\[ i_{eq} = \left(1 + 0,12\right)^4 - 1 \]<br /><br />\[ i_{eq} = 1,12^4 - 1 \]<br /><br />\[ i_{eq} = 1,5748 - 1 \]<br /><br />\[ i_{eq} = 0,5748 \]<br /><br />Portanto, a taxa anual de juros simples equivalente a uma taxa de 48% a.a. com capitalização trimestral, durante o prazo de 2 anos, é aproximadamente 57,48%.