Partial Fraction on Representations of the Fo f(x)=(x^2-x-13)/((x^2)-7)(x-2)

لتحليل الكسر الجزئي \( f(x) = \frac{x^2 - x - 13}{(x^2 - 7)(x - 2)} \)، نحتاج إلى تمثيله ككسر جزئي. يمكننا كتابة الكسر كالتالي:<br /><br />\[ f(x) = \frac{Ax + B}{x^2 - 7} + \frac{C}{x - 2} \]<br /><br />حيث \( A \)، \( B \)، و \( C \) هي ثوابت نحتاج إلى إيجادها. لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في المقام المشترك \( (x^2 - 7)(x - 2) \) ونحصل على:<br /><br />\[ x^2 - x - 13 = (Ax + B)(x - 2) + C(x^2 - 7) \]<br /><br />نقوم بتبسيط الطرفين ونقارن القيم:<br /><br />\[ x^2 - x - 13 = Ax^2 - 2Ax + Bx - 2B + Cx^2 - 7C \]<br /><br />\[ x^2 - x - 13 = (A + C)x^2 + (-2A + B)x + (-2B - 7C) \]<br /><br />نقارن المعاملات:<br /><br />1. \( A + C = 1 \)<br />2. \( -2A + B = -1 \)<br />3. \( -2B - 7C = -13 \)<br /><br />نحل النظام من المعادلات:<br /><br />من المعادلة الأولى: \( C = 1 - A \)<br /><br />نستبدل في المعادلة الثانية:<br /><br />\[ -2A + B = -1 \]<br /><br />\[ B = 2A - 1 \]<br /><br />نستبدل في المعادلة الثالثة:<br /><br />\[ -2(2A - 1) - 7(1 - A) = -13 \]<br /><br />\[ -4A + 2 - 7 + 7A = -13 \]<br /><br />\[ 3A - 5 = -13 \]<br /><br />\[ 3A = -8 \]<br /><br />\[ A = -\frac{8}{3} \]<br /><br />نستبدل في \( C = 1 - A \):<br /><br />\[ C = 1 - (-\frac{8}{3}) = 1 + \frac{8}{3} = \frac{11}{3} \]<br /><br />نستبدل في \( B = 2A - 1 \):<br /><br />\[ B = 2(-\frac{8}{3}) - 1 = -\frac{16}{3} - 1 = -\frac{19}{3} \]<br /><br />إذاً الكسر الجزئي هو:<br /><br />\[ f(x) = \frac{-\frac{8}{3}x - \frac{19}{3}}{x^2 - 7} + \frac{\frac{11}{3}}{x - 2} \]<br /><br />أو بشكل أبسط:<br /><br />\[ f(x) = \frac{-8x - 19}{3(x^2 - 7)} + \frac{11}{3(x - 2)} \]