Questão 10 Considere o conjunto M_(2)(A) composto pelas matrizes quadradas de ordern 2 com entradas interins. pertencentes ao conjunto dos numeros interos. A partir deste conjunto, podem ser definidas as operacles de aricho de matrizes (+) e multiplicaçǎo entre matrizes (") Com base nas caracteristica da estrutura dada por (M_(2)(A)+... ) analise as afirmacles apresentadas no que segue e a relação proposta entre elas 1 Aestrutura (M_(2)(2)+1) pode ser classificada como um and comultativo com unidade PORQUE II. Devido ds suas propriedades, o par (M_(2)(2),+) pode ser caracterizado como grupo sbeliano A resperto das informaçbes apresentadas, assinale a alternativa correta A. A afimação lesta incometa enquanto que a II está correta B As afimacoes lell estǎo corretas, mas a II nào é uma justificativa correta para al. C A afimação lestá correta enquanto que a II está incorreta D estǎo corretas, e alle uma justificativa correta para al E As afirmaçoes Le II estáo incorretas Questies ) ) Tempo de

Para analisar as afirmações apresentadas, vamos considerar as definições e propriedades dos conjuntos e operações Análise das Afirmações<br /><br />1. **A estrutura $(M_{2}(A)+\cdots )$ pode ser classificada como um anel comutativo com unidade.**<br /><br /> Para que uma estrutura seja um anel comutativo com unidade, ela deve satisfazer as seguintes propriedades:<br /> - Existência de uma operação de adição que é comutativa.<br /> - Existência de uma operação de multiplicação que é comutativa.<br /> - Existência de um elemento neutro para a operação de adição.<br /> - Existência de um elemento inverso para a operação de adição.<br /> - Existência de para a operação de multiplicação.<br /> - Existência de um elemento inverso para a multiplicação (para cada não-nulo elemento).<br /><br /> No conjunto $M_{2}(A)$, temos matrizes quadradas de ordem 2 com entradas inteiras. Vamos verificar se essas propriedades são satisfeitas:<br /><br /> - **Adição**: A adição de matrizes é comutativa.<br /> - **Multiplicação**: A multiplicação de matrizes não é comutativa, pois $AB \neq BA$ em geral.<br /> - **Elemento neutro para adição**: A matriz zero é o elemento neutro para a adiçãoo inverso para adição**: Para cada matriz $A$, existe uma matriz $-A$ tal que $A + (-A) = 0$.<br /> - **Elemento neutro para multiplicação**: A matriz identidade é o elemento neutro para multiplicação.<br /> - **Elemento inverso para multiplicação**: Para cada matriz $A$, existe uma matriz $A^{-1}$ tal que $AA^{-1} = I$.<br /><br /> Como a multiplicação de matrizes não é comutativa, a estrutura $(M_{2}(A), +, \cdot)$ não pode ser um anel comutativo com unidade. Portanto, a afirmação I está incorreta.<br /><br />2. **Devido às suas prop o par $(M_{2}(A), +)$ pode ser caracterizado como grupo simétrico.**<br /><br /> Um grupo simétrico é um grupo que é isomorfo ao grupo simétrico de um conjunto. Para que $(M_{2}(A), +)$ seja um grupo simétrico, ele deve satisfazer as propriedades de um grupo (associatividade, existência de elemento neutro, existência de inverso) e ser isomorfo ao grupo simétrico de um conjunto.<br /><br /> - **Grupo**: $(M_{2}(A), +)$ satisfaz as propriedades de um grupo: a adição é associativa, existe um elemento neutro (a matriz zero), matriz $A$, existe uma matriz $-A$ tal que $A + (-A) = 0$.<br /> - **Grupo simétrico**: Para que $(M_{2}(A), +)$ seja um grupo simétrico, ele deve ser isomorfo ao grupo simétrico de um conjunto. Isso envolve uma análise mais profunda de suas propriedades estruturais e não é imediatamente óbvio apenas com as definições dadas.<br /><br /> Portanto, a afirmação II pode ser considerada correta, mas a justificativa para a afirmação I não é válida.<br /><br />### Conclusão<br /><br />Com base na análise, a alternativa correta é:<br /><br />** afirmações I e II estão corretas, mas a II não é uma justificativa correta para a I.**<br /><br />Isso porque a estrutura $(M_{2}(A), +, \cdot)$ não é um anel comutativo com unidade, mas $(M_{2}(A), +)$ pode ser considerado um grupo.