9 - Dada a função y=x^2+4x-5 determine: a) os pontos em que seu gráfico corta o eixo x b) os pontos em que seu gráfico corta o eixo y as coordenadas do vértice de seu gráfico

Para resolver a função $y = x^2 + 4x - 5$, vamos abordar cada item da questão:

a) Para determinar os pontos em que o gráfico corta o eixo x, precisamos encontrar os valores de $x$ para os quais $y = 0$. Substituindo $y$ por 0 na função, temos:

$$0 = x^2 + 4x - 5$$

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar o método de fatoração, a fórmula de Bhaskara ou completar o quadrado. Vamos usar a fórmula de Bhaskara:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

onde $a = 1$, $b = 4$ e $c = -5$. Substituindo esses valores na fórmula, temos:

$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1}$$
$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2}$$
$$x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2}$$
$$x = \frac{-4 \pm 6}{2}$$

Portanto, temos duas soluções:

$$x = \frac{-4 + 6}{2} = 1$$
$$x = \frac{-4 - 6}{2} = -5$$

Assim, os pontos em que o gráfico corta o eixo x são $(1, 0)$ e $(-5, 0)$.

b) Para determinar os pontos em que o gráfico corta o eixo y, precisamos encontrar o valor de $y$ quando $x = 0$. Substituindo $x$ por 0 na função, temos:

$$y = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$$

Portanto, o ponto em que o gráfico corta o eixo y é $(0, -5)$.

c) Para determinar as coordenadas do vértice do gráfico, podemos usar a fórmula $x_v = -\frac{b}{2a}$ e $y_v = f(x_v)$, onde $a = 1$, $b = 4$ e $c = -5$.

$$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$$

Substituindo $x_v$ na função para encontrar $y_v$:

$$y_v = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) - 5$$
$$y_v = 4 - 8 - 5$$
$$y_v = -9$$

Portanto, as coordenadas do vértice do gráfico são $(-2, -9)$.