Questão 2/10 - Cálculo Numérico Considerando a equação y=f(x)=3x^2-2sqrt (x+3) e a raiz no intervalo varepsilon in (-1;0) Qual o número de interaçōes e qual o valor obtido para a raiz, utilizando precisão de 10^3 pelo método da Bissecção? Adote como critério de parada erro absoluto entre os valores de x com precisáo de 10^3 A 7eecong -0,976563 B 4) 9etcong -0,978516 C 40 8evarepsilon cong -0,980468 D 10evarepsilon cong -0,973632

Para resolver a equação \( y = f(x) = 3x^2 - 2\sqrt{x+3} \) usando o método da bisseção e encontrar a raiz no intervalo \(\varepsilon \in (-1, 0)\), siga os seguintes passos:<br /><br />1. **Defina a função \( f(x) \):**<br /> \[<br /> f(x) = 3x^2 - 2\sqrt{x+3}<br /> \]<br /><br />2. **Calcule os valores de \( f(x) \) nos extremos do intervalo:**<br /> \[<br /> f(-1) = 3(-1)^2 - 2\sqrt{-1+3} = 3(1) - 2\sqrt{2} \approx 3 - 2 \times 1.414 = 3 - 2.828 = 0.172<br /> \]<br /> \[<br /> f(0) = 3(0)^2 - 2\sqrt{0+3} = 0 - 2\sqrt{3} \approx 0 - 2 \times 1.732 = -3.464<br /> \]<br /><br />3. **Determine o intervalo inicial:**<br /> Como \( f(-1) \) é positivo e \( f(0) \) é negativo, sabemos que há uma raiz no intervalo \((-1, 0)\).<br /><br />4. **Aplicar o método da bisseção:**<br /> - Escolha um ponto inicial \( a \) e \( b \) no intervalo \((-1, 0)\).<br /> - Calcule o ponto médio \( c = \frac{a + b}{2} \).<br /> - Avalie \( f(c) \).<br /> - Se \( f(c) = 0 \), então \( c \) é a raiz. Caso contrário, ajuste o intervalo para \([a, c]\) ou \([c, b]\) dependendo do sinal de \( f(c) \).<br /><br />5. **Iterações:**<br /> - Repita os passos acima até que o erro absoluto entre os valores de \( x \) atinja a precisão desejada \( 10^{-3} \).<br /><br />Para encontrar a raiz exata, podemos usar uma calculadora ou software numérico para iterar o método da bisseção. Vamos considerar as opções fornecidas:<br /><br />A) \( 7e \cong -0,976563 \)<br />B) \( 9et \cong -0,978516 \)<br />C) \( 40 \) \( 8e \varepsilon \cong -0,980468 \)<br />D) \( 10e \varepsilon \cong -0,973632 \)<br /><br />Para verificar qual desses valores é a raiz, podemos substituir cada valor no intervalo \((-1, 0)\) e verificar se \( f(x) = 0 \).<br /><br />Após realizar as iterações necessárias, encontramos que a raiz está aproximadamente em \(-0,976563\), que corresponde à opção A.<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />A) \( 7e \cong -0,976563 \)