1. Calcule a integral tripla int _(0)^sqrt (5)int _(-sqrt (5-x^2))^0int _(x^2+y^2-11)^9-3x^(2-3y^2)2x-3ydzdydx por meio de uma transformação em coordenadas cilíndricas . Esboc croose

Para calcular a integral tripla dada, podemos usar uma transformação em coordenadas cilíndricas. Vamos começar transformando as variáveis de integração da integral tripla para coordenadas cilíndricas.

A integral tripla é dada por:

$$\int_{0}^{\sqrt{5}} \int_{-\sqrt{5-x^{2}}}^{0} \int_{x^{2}+y^{2}-11}^{9-3x^{2}-3y^{2}} 2x-3y \, dz \, dy \, dx$$

Para transformar para coordenadas cilíndricas, vamos usar as seguintes substituições:

$$x = r \cos(\theta)$$
$$y = r \sin(\theta)$$
$$z = z$$

A região de integração é dada por:

$$0 \leq r \leq \sqrt{5}$$
$$-\sqrt{5-x^{2}} \leq y \leq 0$$
$$x^{2}+y^{2}-11 \leq z \leq 9-3x^{2}-3y^{2}$$

Substituindo as variáveis de integração, obtemos:

$$\int_{0}^{\sqrt{5}} \int_{-\sqrt{5-r^{2}\cos^{2}(\theta)}}^{0} \int_{r^{2}\cos^{2}(\theta)+r^{2}\sin^{2}(\theta)-11}^{9-3r^{2}\cos^{2}(\theta)-3r^{2}\sin^{2}(\theta)} 2r\cos(\theta)-3r\sin(\theta) \, dz \, dr \, d\theta$$

Simplificando a integral, temos:

$$\int_{0}^{\sqrt{5}} \int_{-\sqrt{5-r^{2}}}^{0} \int_{r^{2}-11}^{9-3r^{2}} 2r\cos(\theta)-3r\sin(\theta) \, dz \, dr \, d\theta$$

Agora, podemos calcular a integral tripla em coordenadas cilíndricas.