2. Considere as matrizes A=(a_(ij))_(2times 2) tal que a_(ij)=i^2+j^2 B=(b_(1))_(2times 2) tal que b_(ij)=(i+j)^2 Determine: a) pela lei de formação, a matriz C resultante da soma das matrizes AeB b) a matriz M de ordem 2 que é solução da equação matricial Acdot M+B=0 em que 0 representa a matriz nula de ordem 2.

a) Para determinar a matriz C resultante da soma das matrizes A e B, basta somar os elementos correspondentes das duas matrizes.

A matriz A é dada por $$A=(a_{ij})_{2\times 2}$$ , onde $$a_{ij}=i^{2}+j^{2}$$ . Portanto, temos:

$$A=\begin{pmatrix} 1+0 & 0+1 \\ 0+1 & 1+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$

A matriz B é dada por $$B=(b_{ij})_{2\times 2}$$ , onde $$b_{ij}=(i+j)^{2}$$ . Portanto, temos:

$$B=\begin{pmatrix} (1+0)^2 & (1+1)^2 \\ (0+1)^2 & (1+1)^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$

A soma das matrizes A e B é dada por $$C=A+B$$ . Portanto, temos:

$$C=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$

Portanto, a matriz C resultante da soma das matrizes A e B é $$C=\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}$$ .

b) Para determinar a matriz M que é solução da equação matricial $$A\cdot M+B=0$$ , basta multiplicar a matriz A pela matriz M e subtrair a matriz B do resultado.

A matriz A é dada por $$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$ e a matriz B é dada por $$B=\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}$$ .

A equação matricial $$A\cdot M+B=0$$ pode ser reescrita como $$A\cdot M=-B$$ .

Multiplicando a matriz A pela matriz M, temos:

$$A\cdot M=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m_{11}+m_{21} & m_{12}+m_{22} \\ m_{21}+2m_{22} & m_{12}+2m_{22} \end{pmatrix}$$

Subtraindo a matriz B do resultado, temos:

$$A\cdot M=-B \Rightarrow \begin{pmatrix} m_{11}+m_{21} & m_{12}+m_{22} \\ m_{21}+2m_{22} & m_{12}+2m_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -4 \\ -1 & -4 \end{pmatrix}$$

Comparando os elementos correspondentes das duas matrizes, temos:

$$m_{11}+m_{21}=-1 \Rightarrow m_{11}=-1-m_{21}$$
$$m_{12}+m_{22}=-4 \Rightarrow m_{12}=-4-m_{22}$$
$$m_{21}+2m_{22}=-1 \Rightarrow m_{21}=-1-2m_{22}$$
$$m_{12}+2m_{22}=-4 \Rightarrow m_{12}=-4-2m_{22}$$

Substituindo $$m_{21}=-1-2m_{22}$$ na primeira equação, temos:

$$m_{11}=-1-(-1-2m_{22}) \Rightarrow m_{11}=-1+1+2m_{22} \Rightarrow m_{11}=2m_{22}$$

Substituindo $$m_{12}=-4-2m_{22}$$ na segunda equação, temos:

$$m_{12}=-4-2m_{22} \Rightarrow m_{12}=-4-2m_{22}$$

Portanto, a matriz M que é solução da equação matricial $$A\cdot M+B=0$$ é dada por