DETERMINE A SÉRIER DE FOURIER DAR FUNC,AOO [ f(x)=1 ( se ) 0 leq x leq pi-1 ( se )-pi leq x<0 ] A) (2)/(pi) sum_(n=1)^infty (operatorname(sen)(2 n+1) x)/(2 n+1) B) (4)/(pi) sum_(n=1)^infty (operatorname(sen)(2 n+1) x)/(2 n-1) C) (2)/(pi) sum_(n=1)^infty (operatorname(sen)(2 n-1) x)/(2 n-1) D) (4)/(pi) sum_(n=1)^infty (operatorname(sen)(2 n-1) x)/(2 n-1)

Para determinar a série de Fourier da função \( f(x) \), precisamos calcular as coeficientes de Fourier \( a_n \) e \( b_n \) usando as fórmulas:<br /><br />\[ a_n = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) \, dx \]<br />\[ b_n = \frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) \, dx \]<br /><br />Dada a função \( f(x) \):<br /><br />\[ f(x) = 1 \text{ se } 0 \leq x \leq \pi \]<br />\[ f(x) = -1 \text{ se } -\pi \leq x < 0 \]<br /><br />Vamos calcular os coeficientes \( a_n \) e \( b_n \):<br /><br />1. **Coeficientes \( a_n \):**<br /><br />\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \cos(nx) \, dx + \int_{-\pi}^{0} (-1) \cdot \cos(nx) \, dx \right) \]<br /><br />Para \( n \) par, \( \cos(nx) \) é uma função par, então:<br /><br />\[ \int_{-\pi}^{0} \cos(nx) \, dx = -\int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ a_n = \frac{2}{\pi} \left( 2 \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \right) \]<br /><br />\[ a_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) \, dx \]<br /><br />\[ a_n = \frac{4}{\pi} \left[ \frac{\sin(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \]<br /><br />\[ a_n = \frac{4}{\pi} \left( \frac{\sin(n\pi)}{n} - \frac{\sin(0)}{n} \right) \]<br /><br />\[ a_n = \frac{4}{\pi} \left( 0 - 0 \right) = 0 \]<br /><br />2. **Coeficientes \( b_n \):**<br /><br />\[ b_n = \frac{2}{\pi} \left( \int_{0}^{\pi} 1 \cdot \sin(nx) \, dx + \int_{-\pi}^{0} (-1) \cdot \sin(nx) \, dx \right) \]<br /><br />Para \( n \) ímpar, \( \sin(nx) \) é uma função ímpar, então:<br /><br />\[ \int_{-\pi}^{0} \sin(nx) \, dx = -\int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \]<br /><br />Portanto:<br /><br />\[ b_n = \frac{2}{\pi} \left( 2 \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \right) \]<br /><br />\[ b_n = \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) \, dx \]<br /><br />\[ b_n = \frac{4}{\pi} \left[ \frac{-\cos(nx)}{n} \right]_{0}^{\pi} \]<br /><br />\[ b_n = \frac{4}{\pi} \left( -\frac{\cos(n\pi)}{n} + \frac{\cos(0)}{n} \right) \]<br /><br />\[ b_n = \frac{4}{\pi} \left( -\frac{(-1)^n}{n} + \frac{1}{n} \right) \]<br /><br />\[ b_n = \frac{4}{\pi} \cdot \frac{2}{n} \]<br /><br />\[ b_n = \frac{8}{\pi n} \]<br /><br />Portanto, a série de Fourier da função \( f(x) \) é:<br /><br />\[ f(x) = \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)x}{2n-1} \]<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />D) \( \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(2n-1)x}{2n-1} \)