12.17 Titânia, a maior lua do planeta Urano possui um raio igual a 1/8 do raio da Terra e massa igual a 1/1.700 da massa da Terra. a) Qual é a aceleração da gravidade na superficie de Titinia? b) Qual é a densidade média de Titânia? (Esse valor é menor do que a densidade média das rochas uma evidência em favor da hipotese de que Titânia seja basicamente constituida por gelo.)

a) Para calcular a aceleração da gravidade na superfície de Titânia, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ g = \frac{GM}{R^2} \]<br /><br />Onde:<br />- \( G \) é a constante gravitacional (\( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{Nm}^2/\text{kg}^2 \)),<br />- \( M \) é a massa de Titânia (\( \frac{1}{1700} \) da massa da Terra),<br />- \( R \) é o raio de Titânia (\( \frac{1}{8} \) do raio da Terra).<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />\[ g = \frac{(6.674 \times 10^{-11}) \times (\frac{1}{1700}) \times (5.972 \times 10^{24})}{(\frac{1}{8} \times 6.371 \times 10^6)^2} \]<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos:<br /><br />\[ g \approx 0.25 \, \text{m/s}^2 \]<br /><br />Portanto, a aceleração da gravidade na superfície de Titânia é aproximadamente \( 0.25 \, \text{m/s}^2 \).<br /><br />b) Para calcular a densidade média de Titânia, podemos usar a fórmula:<br /><br />\[ \text{Densidade} = \frac{\text{Massa}}{\text{Volume}} \]<br /><br />Onde:<br />- \( \text{Massa} \) é a massa de Titânia (\( \frac{1}{1700} \) da massa da Terra),<br />- \( \text{Volume} \) é o volume de Titânia.<br /><br />Para calcular o volume de Titânia, podemos usar a fórmula do volume de uma esfera:<br /><br />\[ \text{Volume} = \frac{4}{3} \pi R^3 \]<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />\[ \text{Volume} = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{8} \times 6.371 \times 10^6\right)^3 \]<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos:<br /><br />\[ \text{Volume} \approx 1.55 \times 10^{19} \, \text{m}^3 \]<br /><br />Agora, podemos calcular a densidade média de Titânia:<br /><br />\[ \text{Densidade} = \frac{\frac{1}{1700} \times 5.972 \times 10^{24}}{1.55 \times 10^{19}} \]<br /><br />Simplificando a expressão, encontramos:<br /><br />\[ \text{Densidade} \approx 3.5 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}^3 \]<br /><br />Portanto, a densidade média de Titânia é aproximadamente \( 3.5 \times 10^{-3} \, \text{kg/m}^3 \).