Sejao campo deforças Fily, F(x,y)=(y-x,-x-y) eocaminho definido pelo segmento de reta AB cuja parametrização ê dada por y(y)=(3t-1,2t) F(x))=(y-x que varia no intervalo0 sts Combase nas informagões sapresentadase queo campo de forcas curva yestão expressos em unidades do Sistema (51), determine o trabalho, emjoules ,realizado pelo campp deforgas F namovimentação de um objeto ao longo da curvar

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças \( F(x, y) = (y-x, -x-y) \) ao longo do caminho parametrizado por \( \vec{r}(t) = (3t-1, 2t) \), onde \( t \) varia de 0 a 1, precisamos calcular a integral de linha:<br /><br />\[ W = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \]<br /><br />Primeiro, encontramos a derivada da parametrização para obter \( d\vec{r} \):<br /><br />\[ \vec{r}(t) = (3t-1, 2t) \]<br />\[ \frac{d\vec{r}}{dt} = (3, 2) \]<br /><br />Agora, substituímos os valores de \( x \) e \( y \) na expressão do campo de forças:<br /><br />Para \( \vec{r}(t) = (3t-1, 2t) \), temos:<br />- \( x = 3t - 1 \)<br />- \( y = 2t \)<br /><br />Substituindo em \( F(x, y) \):<br />\[ F(x, y) = (y-x, -x-y) = (2t - (3t-1), -(3t-1) - 2t) = (-t+1, -5t+1) \]<br /><br />O produto escalar \( \vec{F} \cdot d\vec{r} \) é:<br />\[ \vec{F} \cdot d\vec{r} = (-t+1, -5t+1) \cdot (3, 2) = (-t+1) \cdot 3 + (-5t+1) \cdot 2 \]<br />\[ = -3t + 3 - 10t + 2 = -13t + 5 \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( t \) de 0 a 1:<br />\[ W = \int_0^1 (-13t + 5) \, dt \]<br /><br />Calculando a integral:<br />\[ W = \left[ -\frac{13}{2}t^2 + 5t \right]_0^1 \]<br />\[ = \left( -\frac{13}{2}(1)^2 + 5(1) \right) - \left( -\frac{13}{2}(0)^2 + 5(0) \right) \]<br />\[ = \left( -\frac{13}{2} + 5 \right) \]<br />\[ = -\frac{13}{2} + \frac{10}{2} \]<br />\[ = -\frac{3}{2} \]<br /><br />Portanto, o trabalho realizado pelo campo de forças é \(-\frac{3}{2}\) joules.