09) Sabe-se que três números inteiros estão em PA. Se esses números tâm por soma 24 e por produto 480, calcule os três números.

Para resolver esse problema, podemos usar as fórmulas de soma e produto para uma progressão aritmética (PA).<br /><br />Vamos chamar os três números de \(a - d\), \(a\) e \(a + d\), onde \(a\) é o termo médio e \(d\) é a razão.<br /><br />Sabemos que a soma dos três números é 24, então podemos escrever a seguinte equação:<br /><br />\((a - d) + a + (a + d) = 24\)<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\(3a = 24\)<br /><br />Dividindo ambos os lados por 3, encontramos:<br /><br />\(a = 8\)<br /><br />Agora, sabemos que o termo médio é 8. Também sabemos que o produto dos três números é 480, então podemos escrever a seguinte equação:<br /><br />\((a - d) \cdot a \cdot (a + d) = 480\)<br /><br />Substituindo o valor de \(a\) na equação, temos:<br /><br />\((8 - d) \cdot 8 \cdot (8 + d) = 480\)<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\(64 - 8d + 8d - d^2 = 480\)<br /><br />\(64 - d^2 = 480\)<br /><br />\(d^2 = 64 - 480\)<br /><br />\(d^2 = -416\)<br /><br />Como o quadrado de um número inteiro não pode ser negativo, concluímos que houve um erro na resolução. Vamos corrigir:<br /><br />A soma dos três números é 24, então a média é 8. Seja \(a = 8\).<br /><br />O produto dos três números é 480, então:<br /><br />\(a(a - d)(a + d) = 480\)<br /><br />\(8(8 - d)(8 + d) = 480\)<br /><br />\(8(64 - d^2) = 480\)<br /><br />\(64 - d^2 = 60\)<br /><br />\(d^2 = 4\)<br /><br />\(d = \pm 2\)<br /><br />Portanto, os três números são:<br /><br />\(8 - 2 = 6\)<br /><br />\(8\)<br /><br />\(8 + 2 = 10\)<br /><br />Os três números são 6, 8 e 10.