Seja P=(-6,2,5) Sabendo que a tetla ) x=2+t y=5+2t y=-1 elpe rip ao x e que B=(2,0,1) pertence ao plano pi avalie as afirmações là d(P,B)=2sqrt (21) II d(P,r)=(3sqrt (21))/(5) III d(P,pi )=(4sqrt (5))/(5)

Para avaliar as afirmações, precisamos calcular a distância entre o ponto P e o ponto B, a distância entre o ponto P e o plano π, e comparar os resultados com as afirmações fornecidas.<br /><br />I. A afirmação diz que a distância entre o ponto P e o ponto B é igual a $2\sqrt{21}$. Vamos calcular essa distância:<br /><br />$d(P,B) = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (0 - 2)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{64 + 4 + 16} = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}$<br /><br />Portanto, a afirmação I está correta.<br /><br />II. A afirmação diz que a distância entre o ponto P e o plano π é igual a $\frac{3\sqrt{21}}{5}$. Vamos calcular essa distância:<br /><br />Para calcular a distância entre um ponto e um plano, usamos a fórmula:<br /><br />$d(P,\pi) = \frac{\left| Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D \right|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$<br /><br />Onde (x_0, y_0, z_0) são as coordenadas do ponto P e Ax + By + Cz + D = 0 é a equação do plano π.<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$d(P,\pi) = \frac{\left| 2(-6) + 5(2) + 1(-1) + 0 \right|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2}} = \frac{\left| -12 + 10 - 1 \right|}{\sqrt{4 + 25 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{10}$<br /><br />Portanto, a afirmação II está incorreta.<br /><br />III. A afirmação diz que a distância entre o ponto P e o plano π é igual a $\frac{4\sqrt{5}}{5}$. Vamos calcular essa distância:<br /><br />$d(P,\pi) = \frac{\left| 2(-6) + 5(2) + 1(-1) + 0 \right|}{\sqrt{2^2 + 5^2 + 1^2}} = \frac{\left| -12 + 10 - 1 \right|}{\sqrt{4 + 25 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{30}} = \frac{3\sqrt{30}}{30} = \frac{\sqrt{30}}{10}$<br /><br />Portanto, a afirmação III está incorreta.<br /><br />Em resumo, a única afirmação correta é a I.