1.Em um triângulo retângulo ABC, reto em hat (C) hat (A) . o sen hat (B)=(1)/(3) e a tg hat (B)=(sqrt (2))/(4) Determine os valores do cosseno e da tangente do ángulo agudo

Para determinar os valores do cosseno e da tangente do ângulo agudo \( \hat{B} \) em um triângulo retângulo ABC, onde \( \hat{C} \) é o ângulo reto, podemos usar as informações fornecidas sobre o seno e a tangente de \( \hat{B} \).<br /><br />Dado que \( \sin(\hat{B}) = \frac{1}{3} \) e \( \tan(\hat{B}) = \frac{\sqrt{2}}{4} \), podemos usar a relação fundamental entre seno, cosseno e tangente para encontrar os valores desejados.<br /><br />Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica fundamental:<br /><br />\[ \sin^2(\hat{B}) + \cos^2(\hat{B}) = 1 \]<br /><br />Substituindo o valor de \( \sin(\hat{B}) \):<br /><br />\[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2(\hat{B}) = 1 \]<br /><br />\[ \frac{1}{9} + \cos^2(\hat{B}) = 1 \]<br /><br />\[ \cos^2(\hat{B}) = 1 - \frac{1}{9} \]<br /><br />\[ \cos^2(\hat{B}) = \frac{8}{9} \]<br /><br />\[ \cos(\hat{B}) = \sqrt{\frac{8}{9}} \]<br /><br />\[ \cos(\hat{B}) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]<br /><br />Agora, para encontrar o valor de \( \tan(\hat{B}) \), podemos usar a relação entre seno e cosseno:<br /><br />\[ \tan(\hat{B}) = \frac{\sin(\hat{B})}{\cos(\hat{B})} \]<br /><br />Substituindo os valores:<br /><br />\[ \tan(\hat{B}) = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}} \]<br /><br />\[ \tan(\hat{B}) = \frac{1}{2\sqrt{2}} \]<br /><br />\[ \tan(\hat{B}) = \frac{\sqrt{2}}{4} \]<br /><br />Portanto, os valores do cosseno e da tangente do ângulo agudo \( \hat{B} \) são:<br /><br />\[ \cos(\hat{B}) = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]<br /><br />\[ \tan(\hat{B}) = \frac{\sqrt{2}}{4} \]