Seja o campo de forças F(x,y)=(y-x,-x-y) e o caminho definido pelo segmento de reta AB cuja parametrização é dada por x(t)=(3t-1,2t), onde té 0 parâmetro que varia no intervalo 0leqslant tleqslant 1 Internacional de Medidas Com base nas informações apr apresentadas e considerando que o campo de forças F eacurvar estão expressos em unidades do Sistema Intel (SI)determine trabalho em joules,realizado pelo campo de forças as F na movimentação deum objeto ao longo da curvar:

Para calcular o trabalho realizado pelo campo de forças \( F(x, y) = (y-x, -x-y) \) ao longo do caminho parametrizado por \( x(t) = (3t-1, 2t) \), onde \( t \) varia de 0 a 1, devemos calcular a integral de linha do campo de forças ao longo do caminho.<br /><br />Primeiro, encontramos a derivada da parametrização para obter o vetor tangente:<br /><br />\[ x'(t) = \left(\frac{d}{dt}(3t-1), \frac{d}{dt}(2t)\right) = (3, 2). \]<br /><br />Agora, substituímos a parametrização na expressão do campo de forças:<br /><br />Para \( x(t) = (3t-1, 2t) \), temos:<br />- \( y - x = 2t - (3t-1) = -t + 1 \)<br />- \(-x - y = -(3t-1) - 2t = -5t + 1\)<br /><br />Assim, o campo de forças ao longo do caminho é dado por:<br /><br />\[ F(x(t), y(t)) = (-t+1, -5t+1). \]<br /><br />O trabalho realizado é a integral de linha:<br /><br />\[ W = \int_{0}^{1} F(x(t), y(t)) \cdot x'(t) \, dt. \]<br /><br />Calculamos o produto escalar:<br /><br />\[ F(x(t), y(t)) \cdot x'(t) = (-t+1, -5t+1) \cdot (3, 2) = (-t+1) \cdot 3 + (-5t+1) \cdot 2. \]<br /><br />\[ = -3t + 3 - 10t + 2 = -13t + 5. \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \( t \) de 0 a 1:<br /><br />\[ W = \int_{0}^{1} (-13t + 5) \, dt. \]<br /><br />\[ = \left[ -\frac{13}{2}t^2 + 5t \right]_{0}^{1}. \]<br /><br />\[ = \left( -\frac{13}{2}(1)^2 + 5(1) \right) - \left( -\frac{13}{2}(0)^2 + 5(0) \right). \]<br /><br />\[ = \left( -\frac{13}{2} + 5 \right). \]<br /><br />\[ = \left( -\frac{13}{2} + \frac{10}{2} \right). \]<br /><br />\[ = -\frac{3}{2}. \]<br /><br />Portanto, o trabalho realizado pelo campo de forças é \(-\frac{3}{2}\) joules.