74 Um satélite está em uma órbita elíptica com um período de 8,0times 10^4 em torno de um planeta de massa 7,00times 10^24kg . No afélio, a uma distância de 4,5times 10^7m do centro do planeta, a ve- locidade angular do satélite é 7,158times 10^-5rad/s Qual é a veloci- dade angular do satélite no periélio?

Para determinar a velocidade angular do satélite no periélio, podemos usar a conservação da energia mecânica. A energia mecânica total do sistema é a soma da energia potencial e da energia cinética.<br /><br />A energia potencial gravitacional é dada por:<br /><br />$E_p = -\frac{GMm}{r}$<br /><br />Onde G é a constante gravitacional, M é a massa do planeta, m é a massa do satélite e r é a distância entre o centro do planeta e o satélite.<br /><br />A energia cinética é dada por:<br /><br />$E_k = \frac{1}{2}mv^2$<br /><br />Onde v é a velocidade do satélite.<br /><br />No afélio, a energia potencial é:<br /><br />$E_{p_{afélio}} = -\frac{GMm}{4,5\times 10^{7}}$<br /><br />E a energia cinética é:<br /><br />$E_{k_{afélio}} = \frac{1}{2}m(v_{afélio})^2$<br /><br />No periélio, a energia potencial é:<br /><br />$E_{p_{periélio}} = -\frac{GMm}{R}$<br /><br />E a energia cinética é:<br /><br />$E_{k_{periélio}} = \frac{1}{2}m(v_{periélio})^2$<br /><br />Onde R é a distância média entre as posições afélio e periélio.<br /><br />A conservação da energia mecânica implica que:<br /><br />$E_{p_{afélio}} + E_{k_{afélio}} = E_{p_{periélio}} + E_{k_{periélio}}$<br /><br />Substituindo os valores, temos:<br /><br />$-\frac{GMm}{4,5\times 10^{7}} + \frac{1}{2}m(v_{afélio})^2 = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(v_{periélio})^2$<br /><br />Podemos eliminar o fator comum m:<br /><br />$-\frac{GM}{4,5\times 10^{7}} + \frac{1}{2}(v_{afélio})^2 = -\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}(v_{periélio})^2$<br /><br />Isso implica que:<br /><br />$\frac{1}{2}(v_{afélio})^2 - \frac{GM}{4,5\times 10^{7}} = \frac{1}{2}(v_{periélio})^2 - \frac{GM}{R}$<br /><br />Reorganizando os termos, temos:<br /><br />$\frac{1}{2}(v_{afélio})^2 - \frac{1}{2}(v_{periélio})^2 = \frac{GM}{4,5\times 10^{7}} - \frac{GM}{R}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 2, temos:<br /><br />$(v_{afélio})^2 - (v_{periélio})^2 = \frac{2GM}{4,5\times 10^{7}} - \frac{2GM}{R}$<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />$(7,158\times 10^{-5})^2 - (v_{periélio})^2 = \frac{2G(7,00\times 10^{24})}{4,5\times 10^{7}} - \frac{2G(7,00\times 10^{24})}{R}$<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos a velocidade angular do satélite no periélio.