8) a) Mostre que o volume de uma esfera de raio r é V=(4)/(3)pi r^3 . Faca isto de duas formas distintas . b) Mostre que o volume de um cone de raio r e altura h equivale a um terço do volume de um cilindro regular.Em ambos os casos é fundamental esboçar 0 gráfico.

a) Para mostrar que o volume de uma esfera de raio r é $V=\frac {4}{3}\pi r^{3}$, podemos usar duas abordagens distintas:<br /><br />1. Abordagem geométrica: Considere uma esfera de raio r. Podemos dividir a esfera em várias camadas cilíndricas de espessura infinitesimal. A área de uma dessas camadas é $dA = 2\pi rh dh$, onde h é a espessura da camada. O volume dessas camadas é $dV = dA \cdot dh = 2\pi rh dh$. Integrando essa expressão em relação a h de 0 a r, obtemos o volume total da esfera: $V = \int_{0}^{r} 2\pi rh dh = 2\pi \int_{0}^{r} rh dh = 2 \left[ \frac{1}{2}h^2 \right]_{0}^{r} = 2\pi \cdot \frac{1}{2}r^2 = \pi r^2$. Multiplicando por $\frac{4}{3}$, obtemos $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.<br /><br />2. Abordagem de integração: Considere uma esfera de raio r. Podemos considerar a esfera como a união de infinitas esferas menores de raio $dr$. O volume de uma dessas esferas menores é $dV4\pi r^2 dr$. Integrando essa expressão em relação a r de 0 a r, obtemos o volume total da esfera: $V = \int_{0}^{r} 4\pi r^2 dr = 4\pi \int_{0}^{r} r^2 dr = 4\pi \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_{0}^{r} = 4\pi \cdot \frac{1}{3}r^3 = \frac{4}{3}\pi r^3$.<br /><br />b) Para mostrar que o volume de um cone de raio r e altura h equivale a um terço do volume de um cilindro regular de mesmo raio e altura, podemos usar a fórmula dos volumes dessas figuras geométricas:<br /><br />- Volume de um cone: $V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 h$<br />- Volume de um cilindro: $V_{cilindro} = \pi r^2 h$<br /><br />Comparando os dois volumes, podemos ver que o volume do cone é um terço do volume do cilindro, ou seja, $V_{cone} = \frac{1}{3}V_{cilindro}$. Isso ocorre porque a área da base do cone é um terço da área da base do cilindro, enquantoece a mesma.<br /><br />Em ambos os casos, é fundamental esboçar o gráfico para visualizar melhor as figuras geométricas e entender como o volume é calculado.