1. Sants aplicue 45000 mathrm(em) un fundo de incertimen to que rende 20 % a.a. Ele quer usar o montante desa apticacio pl compror uma casa que custava, ha data da aplicacas, & & 35000 e se valoiza à taxa anes prea nocesarios até que soule consiga compor tal cara?

Para resolver essa questão, precisamos calcular em quanto tempo o montante da aplicação de Santos será suficiente para comprar a casa, considerando que ambos os valores estão sujeitos a taxas de juros diferentes.<br /><br />1. **Montante da Aplicação:**<br /> - Valor inicial: \( \$ 45.000 \)<br /> - Taxa de juros: \( 20\% \) ao ano<br /><br /> O montante \( M \) após \( t \) anos é dado pela fórmula do montante composto:<br /> \[<br /> M = P(1 + i)^t<br /> \]<br /> onde \( P = 45000 \) e \( i = 0,20 \).<br /><br />2. **Valor da Casa:**<br /> - Valor inicial: \( \$ 35.000 \)<br /> - Taxa de valorização: \( 10\% \) ao ano<br /><br /> O valor futuro da casa \( V \) após \( t \) anos é:<br /> \[<br /> V = C(1 + j)^t<br /> \]<br /> onde \( C = 35000 \) e \( j = 0,10 \).<br /><br />Queremos encontrar o tempo \( t \) tal que o montante da aplicação seja igual ao valor da casa:<br />\[<br />45000(1 + 0,20)^t = 35000(1 + 0,10)^t<br />\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 35000, temos:<br />\[<br />\left(\frac{45000}{35000}\right) = \left(\frac{1,10}{1,20}\right)^t<br />\]<br /><br />Calculando a razão inicial:<br />\[<br />\frac{45000}{35000} = \frac{9}{7}<br />\]<br /><br />Portanto, precisamos resolver:<br />\[<br />\left(\frac{9}{7}\right) = \left(\frac{11}{12}\right)^t<br />\]<br /><br />Tomando logaritmos dos dois lados para resolver para \( t \):<br />\[<br />\log\left(\frac{9}{7}\right) = t \cdot \log\left(\frac{11}{12}\right)<br />\]<br /><br />Finalmente, isolamos \( t \):<br />\[<br />t = \frac{\log\left(\frac{9}{7}\right)}{\log\left(\frac{11}{12}\right)}<br />\]<br /><br />Calculando isso, obtemos aproximadamente \( t \approx 5,8 \) anos.<br /><br />Portanto, Santos precisará esperar cerca de 6 anos para que o montante da sua aplicação seja suficiente para comprar a casa.