int_(1)^4 int_(1)^2((x)/(y)+(y)/(x)) d x d x

Para resolver a integral \( \int_{1}^{4} \int_{1}^{2}\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) d x d y \), vamos primeiro integrar em relação a \( x \) e depois em relação a \( y \).<br /><br />Começamos a integrar em relação a \( x \):<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \right) dx \]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes:<br /><br />\[ \int_{1}^{2} \frac{x}{y} dx + \int_{1}^{2} \frac{y}{x} dx \]<br /><br />Integrando cada parte separadamente, obtemos:<br /><br />\[ \frac{1}{y} \int_{1}^{2} x dx + y \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \]<br /><br />Calculando as integrais, temos:<br /><br />\[ \frac{1}{y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} + y \left[ \ln|x| \right]_{1}^{2} \]<br /><br />Substituindo os limites de integração, obtemos:<br /><br />\[ \frac{1}{y} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) + y \left( \ln|2| - \ln|1| \right) \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \frac{1}{y} \left( 2 - \frac{1}{2} \right) + y \left( \ln 2 - 0 \right) \]<br /><br />\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{3}{2} + y \ln 2 \]<br /><br />Agora, integramos essa expressão em relação a \( y \):<br /><br />\[ \int_{1}^{4} \left( \frac{3}{2y} +ln 2 \right) dy \]<br /><br />Podemos separar a integral em duas partes novamente:<br /><br />\[ \frac{3}{2} \int_{1}^{4} \frac{1}{y} dy + \ln 2 \int_{1}^{4} y dy \]<br /><br />Integrando cada parte separadamente, obtemos:<br /><br />\[ \frac{3}{2} \left[ \ln|y| \right]_{1}^{4} + \ln 2 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{1}^{4} \]<br /><br />Substituindo os limites de integração, temos:<br /><br />\[ \frac{3}{2} \left( \ln 4 - \ln 1 \right) + \ln 2 \left( \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} \right) \]<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\[ \frac{3}{2} \ln 4 + \ln 2 \left( 8 - \frac{1}{2} \right) \]<br /><br />\[ \frac{3}{2} \ln 4 + \ln 2 \cdot \frac{15}{2} \]<br /><br />\[ \frac{3}{2} \ln 4 + \frac{15}{2} \ln 2 \]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\[ \frac{3}{2} \ln 4 + \frac{15}{2} \ln 2 \]