4) Determine as matrizes inversas (caso existam) das matrizes abaixo. A=[} 3&1 5&2 ] Escolha uma das matrizes 2times 2 e resolva-a das 3 formas vistas em aula ou seja, utilizando a formula, por operações elementares utilizando a matriz identidade e por matriz de um sistema. OBS.: determine a inversa de D apenas de uma maneira

Vamos calcular a inversa da matriz \( A \) utilizando três métodos diferentes: a fórmula, operações elementares com a matriz identidade, e a representação como um sistema de equações.<br /><br />### Método 1: Fórmula<br /><br />Para uma matriz \( 2 \times 2 \) \( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \), a fórmula para a inversa é:<br /><br />\[ A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]<br /><br />Aplicando isso à matriz \( A \):<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]<br /><br />Calculamos o determinante:<br /><br />\[ \text{det}(A) = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 5 = 6 - 5 = 1 \]<br /><br />Como o determinante é diferente de zero, a matriz \( A \) é invertível. Agora, aplicamos a fórmula:<br /><br />\[ A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \]<br /><br />### Método 2: Operações Elementares com a Matriz Identidade<br /><br />Começamos com a matriz identidade \( I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) e aplicamos operações elementares para transformar \( A \) em \( I \).<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 \leftarrow \frac{1}{3} R_1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \xrightarrow{R_2 \leftarrow R_2 - 5 R_1} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & \frac{4}{3} \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \xrightarrow{R_2 \leftarrow \frac{3}{4} R_2} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{3} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \xrightarrow{R_1 \leftarrow R_1 - \frac{1}{3} R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]<br /><br />A matriz \( A \) foi transformada na matriz identidade \( I \). As colunas da matriz resultante representam a inversa de \( A \):<br /><br />\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{3} \\ -\frac{5}{3} & 1 \end{pmatrix} \]<br /><br />### Método 3: Matriz de um Sistema<br /><br />Podemos representar a matriz \( A \) como um sistema de equações lineares e resolver para encontrar a inversa.<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \begin{cases} 3x + y = 0 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases} \]<br /><br />Resolvemos o sistema:<br /><br />Multiplicamos a primeira equação por 2 e subtraímos da segunda:<br /><br />\[ \begin{cases} 6x + 2y = 0 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases} \]<br /><br />\[ \begin{cases} 6x + 2y = 0 \\ 5x + 2y = 1 \end{cases} \]<br /><br />Subtraímos a segunda da primeira:<br /><br />\[ x = -1 \]<br /><br />Substituímos \( x \) na primeira equação:<br /><br />\[ 3(-1) + y = 0 \]<br /><br />\[ y = 3 \]<br /><br />Portanto, a solução do sistema é \( x = -1 \) e \( y = 3 \), que são os elementos da matriz inversa:<br /><br />\[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 3 \\ 5 & -3 \end{pmatrix} \]<br /><br />### Conclusão<br /><br />Independentemente do método utilizado, encontramos que a inversa da matriz \( A \) é:<br /><br />\[ A^{-1} =