Exercicio 2. Em cada um dos itens a seguir verifique se (G,ast ) é um grupo. Em caso afirmativo, verifique também se o grupo é abeliano. Para os que não são grupos dizer quais dos axiomas de grupo falham. (a) G=Q^ast eaast b=(a)/(5b) (b) G= xin R;-1lt xlt 1 eaast b=(a+b)/(1+ab)

(a) Para verificar se $(G, \ast)$ é um grupo, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de grupo:<br /><br />1. Fechamento: Para todo $a, b \in G$, temos que $a \ast b = \frac{a}{5b} \in G$, pois $G = \mathbb{Q}^{\ast}$.<br /><br />2. Associatividade: Para todo $a, b, c \in G$, temos que $(a \ast b) \ast c = \frac{a}{5b} \ast c = \frac{a}{5bc} = a \ast (b \ast c)$.<br /><br />3. Identidade: O elemento identidade é o elemento que, quando multiplicado por qualquer elemento $a \in G$, resulta em $a$. Neste caso, o elemento identidade é $1$, pois $a \ast 1 = \frac{a}{5 \cdot 1} = a$.<br /><br />4. Inverso: Para todo $a \in G$, existe um elemento $b \in G$ tal que $a \ast b = 1$. Neste caso, o inverso de $a$ é $\frac{5}{a}$, pois $a \ast \frac{5}{a} = \frac{a}{5 \cdot \frac{5}{a}} = 1$.<br /><br />Portanto, $(G, \ast)$ é um grupo. No entanto, ele não é abeliano, pois $a \ast b \neq b \ast a$ em geral.<br /><br />(b) Para verificar se $(G, \ast)$ é um grupo, precisamos verificar se ele satisfaz os axiomas de grupo:<br /><br />1. Fechamento: Para todo $a, b \in G$, temos que $a \ast b = \frac{a+b}{1+ab} \in G$, pois $G = \{x \in \mathbb{R} \mid -1 < x < 1\}$.<br /><br />2. Associatividade: Para todo $a, b, c \in G$, temos que $(a \ast b) \ast c = \frac{a+b}{1+ab} \ast c = \frac{\frac{a+b}{1+ab} + c}{1 + \frac{a+b}{1+ab} \cdot c} = a \ast (b \ast c)$.<br /><br />3. Identidade: O elemento identidade é o elemento que, quando multiplicado por qualquer elemento $a \in G$, resulta em $a$. Neste caso, o elemento identidade é $0$, pois $a \ast 0 = \frac{a+0}{1+a \cdot 0} = a$.<br /><br />4. Inverso: Para todo $a \in G$, existe um elemento $b \in G$ tal que $a \ast b = 0$. Neste caso, o inverso de $a$ é $\frac{1-a}{a+1}$, pois $a \ast \frac{1-a}{a+1} = \frac{a + \frac{1-a}{a+1}}{1 + a \cdot \frac{1-a}{a+1}} = 0$.<br /><br />Portanto, $(G, \ast)$ é um grupo. No entanto, ele não é abeliano, pois $a \ast b \neq b \ast a$ em geral.