Questão 10 Para resolver integrais duplas de forma precisa, é essencial identificar os limites de integração apropriados para as variáveis x e y associadas garantindo assim uma caracterização correta da região de integração Considere a região retangular R=[-1,2]times [0,3] e a função f(x,y)=3y^2 Assinale a alternativa que contém o valor da integral dupla da função dada sobre a região R. square 3. H 54. 108 81 C 27. ANTERIOR

Para resolver a integral dupla da função \( f(x, y) = 3y^2 \) sobre a região retangular \( R = [-1, 2] \times [0, 3] \), precisamos calcular a seguinte integral:<br /><br />\[ \iint_R 3y^2 \, dA \]<br /><br />Primeiro, escrevemos a integral em termos de uma integral iterada:<br /><br />\[ \int_{-1}^{2} \int_{0}^{3} 3y^2 \, dy \, dx \]<br /><br />Calculamos a integral interna em \( y \):<br /><br />\[ \int_{0}^{3} 3y^2 \, dy \]<br /><br />Para isso, usamos a fórmula da integral de uma potência de \( y \):<br /><br />\[ \int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3} \]<br /><br />Multiplicando por 3, temos:<br /><br />\[ \int 3y^2 \, dy = 3 \cdot \frac{y^3}{3} = y^3 \]<br /><br />Agora, avaliamos essa integral nos limites de \( y \):<br /><br />\[ y^3 \Bigg|_{0}^{3} = 3^3 - 0^3 = 27 \]<br /><br />Portanto, a integral interna em \( y \) é 27. Agora, integramos essa resultante em \( x \):<br /><br />\[ \int_{-1}^{2} 27 \, dx \]<br /><br />Como 27 é uma constante, a integral em \( x \) é simplesmente:<br /><br />\[ 27 \int_{-1}^{2} 1 \, dx \]<br /><br />A integral de 1 em \( x \) é simplesmente a diferença dos limites de \( x \):<br /><br />\[ 27 \cdot (2 - (-1)) = 27 \cdot 3 = 81 \]<br /><br />Portanto, o valor da integral dupla da função \( f(x, y) = 3y^2 \) sobre a região \( R \) é 81.<br /><br />A alternativa correta é:<br /><br />\[ \boxed{81} \]