5.) Determine x para que a sequência (x-3,x,x+6) seja uma P G. a_(2)=48ea_(7)=(2)/(3) 1^circ termo dessa sequência?

Para determinar o valor de x para que a sequência $$(x-3, x, x+6)$$ seja uma progressão geométrica (P.G.), precisamos encontrar o valor de x que torna a razão entre os termos consecutivos constante.

Uma sequência é uma P.G. quando a razão entre termos consecutivos é constante. Neste caso, a razão entre o segundo e o primeiro termo deve ser igual à razão entre o terceiro e o segundo termo.

A razão entre o segundo e o primeiro termo é dada por:

$$\frac{x}{x-3}$$

A razão entre o terceiro e o segundo termo é dada por:

$$\frac{x+6}{x}$$

Para que a sequência seja uma P.G., essas duas razões devem ser iguais:

$$\frac{x}{x-3} = \frac{x+6}{x}$$

Multiplicando ambos os lados da equação por $$(x-3) \cdot x$$ , obtemos:

$$x \cdot x = (x-3) \cdot (x+6)$$

Simplificando a equação, temos:

$$x^2 = x^2 + 3x - 18$$

Subtraindo $$x^2$$ de ambos os lados, obtemos:

$$0 = 3x - 18$$

Somando 18 a ambos os lados, temos:

$$18 = 3x$$

Dividindo ambos os lados por 3, obtemos:

$$x = 6$$

Portanto, o valor de x que torna a sequência $$(x-3, x, x+6)$$ uma P.G. é 6.