Sabe-se que para todo número inteiro ngt 1 , tem-se (nsqrt [n](e))/(e)lt sqrt [n](n!)lt (nsqrt [n](ne))/(e) calcule nesse caso, lim _(narrow infty )(sqrt [n](n!))/(n)

Para calcular o limite \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\), vamos usar a desigualdade dada:<br /><br />\[<br />\frac{n\sqrt[n]{e}}{e} < \sqrt[n]{n!} < \frac{n\sqrt[n]{ne}}{e}<br />\]<br /><br />Primeiro, vamos simplificar as expressões envolvendo \(\sqrt[n]{e}\) e \(\sqrt[n]{ne}\):<br /><br />\[<br />\sqrt[n]{e} = e^{1/n}<br />\]<br /><br />\[<br />\sqrt[n]{ne} = \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{e} = n^{1/n} \cdot e^{1/n}<br />\]<br /><br />Substituindo essas expressões na desigualdade original, temos:<br /><br />\[<br />\frac{n \cdot e^{1/n}}{e} < \sqrt[n]{n!} < \frac{n \cdot n^{1/n} \cdot e^{1/n}}{e}<br />\]<br /><br />Simplificando os termos:<br /><br />\[<br />\frac{n \cdot e^{1/n}}{e} = \frac{n}{e^{1-1/n}} \approx \frac{n}{e}<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{n \cdot n^{1/n} \cdot e^{1/n}}{e} = \frac{n^{1+1/n} \cdot e^{1/n}}{e} \approx \frac{n}{e}<br />\]<br /><br />Portanto, a desigualdade se aproxima de:<br /><br />\[<br />\frac{n}{e} < \sqrt[n]{n!} < \frac{n}{e}<br />\]<br /><br />Como \(\sqrt[n]{n!}\) está entre \(\frac{n}{e}\) e \(\frac{n}{e}\), podemos concluir que:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n} = 1<br />\]<br /><br />Portanto, o limite é:<br /><br />\[<br />\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = 1<br />\]