7. iint _(S)ydS S é o helicoide com equação vetorial r(u,v)=langle ucosv,usenv,vrangle ,0leqslant uleqslant 1,0leqslant vleqslant pi

Para resolver a integral dupla sobre o helicoide dado, primeiro precisamos encontrar as coordenadas cartesianas da superfície em termos das variáveis \(u\) e \(v\). A equação vetorial fornecida é \(r(u, v) = \langle u \cos(v), u \sin(v), v \rangle\), onde \(0 \leq u \leq 1\) e \(0 \leq v \leq \pi\).<br /><br />As coordenadas cartesianas são:<br />\[ x = u \cos(v) \]<br />\[ y = u \sin(v) \]<br />\[ z = v \]<br /><br />Agora, calculamos o elemento de área \(dS\) para a superfície curva. Para isso, precisamos calcular o vetor normal \(\vec{n}\) à superfície. O vetor normal \(\vec{n}\) é dado por:<br />\[ \vec{n} = \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} \times \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} \]<br /><br />Calculamos as derivadas parciais:<br />\[ \frac{\partial \vec{r}}{\partial u} = \langle \cos(v), \sin(v), 0 \rangle \]<br />\[ \frac{\partial \vec{r}}{\partial v} = \langle -u \sin(v), u \cos(v), 1 \rangle \]<br /><br />O produto vetorial é:<br />\[ \vec{n} = \langle \cos(v), \sin(v), 0 \rangle \times \langle -u \sin(v), u \cos(v), 1 \rangle = \langle u \cos(v), u \sin(v), -u \rangle \]<br /><br />O elemento de área \(dS\) é:<br />\[ dS = \left\| \vec{n} \right\| du dv = \sqrt{u^2 \cos^2(v) + u^2 \sin^2(v) + u^2} du dv = u \sqrt{2} du dv \]<br /><br />Agora, substituímos \(x\), \(y\) e \(z\) na integral e integramos sobre o domínio dado:<br />\[ \iint_S y dS = \int_0^1 \int_0^\pi u \sin(v) \cdot u \sqrt{2} du dv = \sqrt{2} \int_0^1 \int_0^\pi u^2 \sin(v) dv du \]<br /><br />Integramos em \(v\) primeiro:<br />\[ \int_0^\pi \sin(v) dv = -\cos(v) \Big|_0^\pi = -(-1) - (-1) = 2 \]<br /><br />Então, a integral se torna:<br />\[ \sqrt{2} \int_0^1 u^2 \cdot 2 du = 2\sqrt{2} \int_0^1 u^2 du = 2\sqrt{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2\sqrt{2}}{3} \]<br /><br />Portanto, o valor da integral é:<br />\[ \boxed{\frac{2\sqrt{2}}{3}} \]