Ivandie o métrede de integrale por partes, ealente as integrais: [ int x^2 e^x d x ]

Para resolver a integral \(\int x^{2} e^{x} dx\) usando a técnica de integração por partes, primeiro precisamos identificar as funções \(u(x)\) e \(v(x)\) de acordo com a fórmula:<br /><br />\[<br />\int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - \int v(x) u'(x) dx<br />\]<br /><br />Para a integral dada, escolhemos:<br /><br />\(u(x) = x^2\) e \(v'(x) = e^x\), o que implica \(v(x) = e^x\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />\[<br />\int x^{2} e^{x} dx = x^2 e^x - \int 2x e^x dx<br />\]<br /><br />Agora, precisamos resolver a integral \(\int 2x e^x dx\) usando integração por partes novamente. Escolhemos:<br /><br />\(u(x) = 2x\) e \(v'(x) = e^x\), o que implica \(v(x) = e^x\).<br /><br />Aplicando a fórmula de integração por partes, temos:<br /><br />\[<br />\int 2x e^x dx = 2x e^x - \int 2 e^x dx<br />\]<br /><br />A integral \(\int 2 e^x dx\) é simplesmente \(2e^x\). Portanto, temos:<br /><br />\[<br />\int 2x e^x dx = 2x e^x - 2e^x<br />\]<br /><br />Substituindo na expressão original, temos:<br /><br />\[<br />\int x^{2} e^{x} dx = x^2 e^x - (2x e^x - 2e^x)<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />\int x^{2} e^{x} dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />\[<br />\int x^{2} e^{x} dx = x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C<br />\]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.