-((dy)/(dx))(2)/((1+y)^2)=(1-y)/((1+y)x)

Para resolver a equação diferencial dada, podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição $v = 1+y$, então $\frac{dv}{dx} = \frac{dy}{dx}$.<br /><br />Substituindo na equação original, temos:<br /><br />$-\frac{dv}{dx} \cdot \frac{2}{v^2} = \frac{1-v}{(1+v)x}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados por $-v^2x$, temos:<br /><br />$2 \cdot \frac{dv}{dx} = (1-v) \cdot v$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$2 \cdot \frac{dv}{dx} = v - v^2$<br /><br />Isso pode ser reescrito como:<br /><br />$\frac{dv}{v - v^2} = \frac{1}{2} \, dx$<br /><br />Integrando ambos os lados, temos:<br /><br />$\int \frac{dv}{v - v^2} = \int \frac{1}{2} \, dx$<br /><br />A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando a substituição $u = v - v^2$, então $du = (1 - 2v) \, dv$. A integral fica:<br /><br />$\int \frac{1}{u} \, du = \int \frac{1}{2} \, dx$<br /><br />Integrando, temos:<br /><br />$\ln |u| = \frac{x}{2} + C_1$<br /><br />Substituindo $u = v - v^2$, temos:<br /><br />$\ln |1+y - (1+y)^2| = \frac{x}{2} + C_1$<br /><br />Exponenciando ambos os lados, temos:<br /><br />$|1+y - (1+y)^2| = e^{\frac{x}{2} + C_1}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$|1+y - (1+y)^2| = C_2 e^{\frac{x}{2}}$<br /><br />onde $C_2 = e^{C_1}$ é uma constante.<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial é:<br /><br />$1+y - (1+y)^2 = C_2 e^{\frac{x}{2}}$<br /><br />onde $C_2$ é uma constante.