Calcule a integral iterada: int _(1)^3int _(0)^1(1+4xy)^... cdot ^... cdot dxdy= b) int _(2)^4int _(-1)^1(x^2+y^2)... dydx c) int _(0)^2int _(0)^(pi )/(2)x^inisseny^(in)/(2)dydx= d) int _(1)^4int _(0)^2(x+sqrt (y))^2=1 e) int _(0)^2int _(0)^1(2x+8)^8dxdyLongrightarrow a f) int _(1)^4int _(1)^2((x)/(y)+(y)/(x))^m^(2)dydxLongrightarrow

Vamos corrigir e resolver cada uma das integrais iteradas fornecidas:<br /><br />a) \(\int_{1}^{3} \int_{0}^{1} (1 + 4xy)^{\cdots \cdot \cdots} \, dx \, dy\)<br /><br />Para resolver essa integral, precisamos saber a exponência completa da função. Como a exponência não está clara, vamos assumir que é um erro de digitação e que a função é \( (1 + 4xy)^2 \). Então, a integral seria:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} \int_{0}^{1} (1 + 4xy)^2 \, dx \, dy<br />\]<br /><br />Primeiro, integramos em \( x \):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} (1 + 4xy)^2 \, dx<br />\]<br /><br />Para isso, expandimos a função:<br /><br />\[<br />(1 + 4xy)^2 = 1 + 8xy + 16x^2y^2<br />\]<br /><br />Então, a integral em \( x \) é:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} (1 + 8xy + 16x^2y^2) \, dx = \int_{0}^{1} 1 \, dx + 8y \int_{0}^{1} x \, dx + 16y^2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx<br />\]<br /><br />Calculando cada parte:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} 1 \, dx = 1<br />\]<br />\[<br />8y \int_{0}^{1} x \, dx = 8y \cdot \frac{1}{2} = 4y<br />\]<br />\[<br />16y^2 \int_{0}^{1} x^2 \, dx = 16y^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{16}{3}y^2<br />\]<br /><br />Então, a integral em \( x \) é:<br /><br />\[<br />1 + 4y + \frac{16}{3}y^2<br />\]<br /><br />Agora, integramos em \( y \):<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} \left(1 + 4y + \frac{16}{3}y^2\right) \, dy<br />\]<br /><br />Calculando cada parte:<br /><br />\[<br />\int_{1}^{3} 1 \, dy = 2<br />\]<br />\[<br />4 \int_{1}^{3} y \, dy = 4 \cdot \frac{2}{2} = 4<br />\]<br />\[<br />\frac{16}{3} \int_{1}^{3} y^2 \, dy = \frac{16}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{128}{9}<br />\]<br /><br />Então, a integral é:<br /><br />\[<br />2 + 4 + \frac{128}{9} = 6 + \frac{128}{9} = \frac{54}{9} + \frac{128}{9} = \frac{182}{9}<br />\]<br /><br />b) \(\int_{2}^{4} \int_{-1}^{1} (x^2 + y^2) \, dy \, dx\)<br /><br />Primeiro, integramos em \( y \):<br /><br />\[<br />\int_{-1}^{1} (x^2 + y^2) \, dy = x^2 \int_{-1}^{1} 1 \, dy + \int_{-1}^{1} y^2 \, dy<br />\]<br /><br />Calculando cada parte:<br /><br />\[<br />x^2 \int_{-1}^{1} 1 \, dy = x^2 \cdot 2 = 2x^2<br />\]<br />\[<br />\int_{-1}^{1} y^2 \, dy = \frac{2}{3}<br />\]<br /><br />Então, a integral em \( y \) é:<br /><br />\[<br />2x^2 + \frac{2}{3}<br />\]<br /><br />Agora, integramos em \( x \):<br /><br />\[<br />\int_{2}^{4} \left(2x^2 + \frac{2}{3}\right) \, dx<br />\]<br /><br />Calculando cada parte:<br /><br />\[<br />2 \int_{2}^{4} x^2 \, dx = 2 \cdot \frac{1}{3} \left(4^3 - 2^3\right) = \frac{2}{3} \cdot 26 = \frac{52}{3}<br />\]<br />\[<br />\frac{2}{3} \int_{2}^{4} 1 \, dx