f(x)=x+5-sqrt (3+x^2) D_(f) f'(x) D_(f) inul -C

لحساب المشتقة الأولى للدالة \( f(x) = x + 5 - \sqrt{3 + x^2} \)، نتبع الخطوات التالية:<br /><br />1. **تحديد الدالة**:<br /> \[<br /> f(x) = x + 5 - \sqrt{3 + x^2}<br /> \]<br /><br />2. **حساب المشتقة**:<br /> - المشتقة للمتغير \( x \) هي 1.<br /> - المشتقة للثابت 5 هي 0.<br /> - المشتقة للجذر التربيعي \(\sqrt{3 + x^2}\) تتطلب استخدام قاعدة السلسلة.<br /><br /> لنقم بحساب المشتقة للجذر التربيعي:<br /> \[<br /> \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3 + x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3 + x^2}} \cdot \frac{d}{dx} (3 + x^2)<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{d}{dx} (3 + x^2) = 2x<br /> \]<br /> إذن:<br /> \[<br /> \frac{d}{dx} \left( \sqrt{3 + x^2} \right) = \frac{1}{2\sqrt{3 + x^2}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}}<br /> \]<br /><br />3. **جمع المشتقات**:<br /> \[<br /> f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}}<br /> \]<br /><br />4. **تحديد المجال**:<br /> - الدالة \( f(x) \) معرفة لكل \( x \) حيث يكون \( 3 + x^2 \geq 0 \)، وهو صحيح لكل \( x \) في \( \mathbb{R} \).<br /><br />إذن، المجال \( D_f \) هو:<br />\[<br />D_f = \mathbb{R}<br />\]<br /><br />وبالتالي، الإجابة النهائية هي:<br />\[<br />f'(x) = 1 - \frac{x}{\sqrt{3 + x^2}}<br />\]<br />\[<br />D_f = \mathbb{R}<br />\]