1-Determine os valores Revis de K , parm ave ra tarsāo f(x)=x^2-2 x+(k-1) admitu raizes neais e ibvaís

Para que a função \( f(x) = x^2 - 2x + (k-1) \) admita raízes reais e ímpares, o discriminante deve ser um quadrado perfeito e o valor médio das raízes deve ser ímpar.<br /><br />O discriminante da função é dado por \( \Delta = b^2 - 4ac \), onde \( a = 1 \), \( b = -2 \) e \( c = k-1 \). Substituindo esses valores, temos:<br /><br />\( \Delta = (-2)^2 - 4(1)(k-1) = 4 - 4(k-1) = 4 - 4k + 4 = 8 - 4k \)<br /><br />Para que o discriminante seja um quadrado perfeito, \( 8 - 4k \) deve ser um quadrado perfeito. Vamos verificar as possíveis opções:<br /><br />- Se \( 8 - 4k = 0 \), temos \( k = 2 \). Neste caso, a função tem uma raiz dupla, o que não é permitido.<br />- Se \( 8 - 4k = 1 \), temos \( k = \frac{7}{4} \). Neste caso, a função tem duas raízes reais e distintas, mas não sabemos se são ímpares.<br />- Se \( 8 - 4k = 4 \), temos \( k = \frac{3}{2} \). Neste caso, a função tem duas raízes reais e distintas, e ambas são ímpares.<br />- Se \( 8 - 4k = 9 \), temos \( k = \frac{1}{4} \). Neste caso, a função tem duas raízes reais e distintas, mas não sabemos se são ímpares.<br />- Se \( 8 - 4k = 16 \), temos \( k = -1 \). Neste caso, a função tem duas raízes reais e distintas, mas não sabemos se são ímpares.<br /><br />Portanto, a única opção que satisfaz todas as condições é \( k = \frac{3}{2} \).