. Seja a transformação linear L: R^3arrow R^2 , com L(x,y,z)=(x+y,2x+3z) Determine: a) Seu núcleo. b) Lé injetiva ? Por quê?

Para resolver as questões, vamos analisar a transformação linear \( L: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2 \) dada por \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \).<br /><br />### a) Núcleo de \( L \)<br /><br />O núcleo de uma transformação linear \( L \) é o conjunto de todos os vetores \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) que são mapeados para o vetor nulo \( (0, 0) \) em \( \mathbb{R}^2 \). Em outras palavras, precisamos encontrar todos os \( (x, y, z) \) tais que \( L(x, y, z) = (0, 0) \).<br /><br />Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), igualamos a zero:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = 0 \\<br />2x + 3z = 0<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. Da primeira equação, \( x + y = 0 \), temos \( y = -x \).<br />2. Substituindo \( y = -x \) na segunda equação, \( 2x + 3z = 0 \), temos:<br /><br />\[<br />2x + 3z = 0 \implies 3z = -2x \implies z = -\frac{2}{3}x<br />\]<br /><br />Portanto, qualquer vetor \( (x, y, z) \) que satisfaça \( y = -x \) e \( z = -\frac{2}{3}x \) pertence ao núcleo de \( L \). Em termos de vetores, o núcleo é:<br /><br />\[<br />\text{núcleo}(L) = \text{span}\{(1, -1, \frac{2}{3}), (0, 0, 0)\}<br />\]<br /><br />### b) Injetividade de \( L \)<br /><br />Para determinar se \( L \) é injetiva, precisamos verificar se cada vetor em \( \mathbb{R}^2 \) é imagem de pelo menos um vetor em \( \mathbb{R}^3 \). Ou seja, precisamos verificar se a transformação é sobrejetora.<br /><br />Considere um vetor \( (a, b) \) em \( \mathbb{R}^2 \). Precisamos encontrar \( (x, y, z) \) em \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( L(x, y, z) = (a, b) \).<br /><br />Dada a transformação \( L(x, y, z) = (x + y, 2x + 3z) \), igualamos a \( (a, b) \):<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />x + y = a \\<br />2x + 3z = b<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Resolvendo o sistema de equações:<br /><br />1. Da primeira equação, \( x + y = a \), temos \( y = a - x \).<br />2. Substituindo \( y = a - x \) na segunda equação, \( 2x + 3z = b \), temos:<br /><br />\[<br />2x + 3z = b \implies 3z = b - 2x \implies z = \frac{b - 2x}{3}<br />\]<br /><br />Portanto, para qualquer vetor \( (a, b) \) em \( \mathbb{R}^2 \), existe um vetor \( (x, a - x, \frac{b - 2x}{3}) \) em \( \mathbb{R}^3 \) tal que \( L(x, a - x, \frac{b - 2x}{3}) = (a, b) \). Isso significa que \( L \) é sobrejetora.<br /><br />Portanto, \( L \) é injetiva.<br /><br />### Resumo<br /><br />a) O núcleo de \( L \) é:<br /><br />\[<br />\text{núcleo}(L) = \text{span}\{(1, -1, \frac{2}{3}), (0, 0, 0)\}<br />\]<br /><br />b) \( L \) é injetiva.