(UFRGS) Se um ponto P do eixo das abscissas é equidistante dos pontos A(1,4) e B(-6,3) A . -2 B . -1 C 0 D 1 E 3

Para resolver esse problema, podemos usar o conceito de distância entre dois pontos em um plano cartesiano. A distância entre dois pontos \(A(x_1, y_1)\) e \(B(x_2, y_2)\) é dada pela fórmula:<br /><br />\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]<br /><br />No caso em questão, temos o ponto \(A(1, 4)\) e o ponto \(B(-6, 3)\). Queremos encontrar o ponto \(P\) no eixo das abscissas que seja equidistante desses dois pontos. Isso significa que a distância entre \(P\) e \(A\) será igual à distância entre \(P\) e \(B\).<br /><br />Vamos chamar a coordenada \(x\) de \(P\) de \(x\). Então, podemos escrever a seguinte equação:<br /><br />\[\sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{(x + 6)^2 + (0 - 3)^2}\]<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />\[(x - 1)^2 + 16 = (x + 6)^2 + 9\]<br /><br />Expandindo os termos, temos:<br /><br />\[x^2 - 2x + 1 + 16 = x^2 + 12x + 36 + 9\]<br /><br />Simplificando novamente, temos:<br /><br />\[x^2 - 2x + 17 = x^2 + 12x + 45\]<br /><br />Subtraindo \(x^2\) de ambos os lados, temos:<br /><br />\[-2x + 17 = 12x + 45\]<br /><br />Adicionando \(2x\) em ambos os lados, temos:<br /><br />\[17 = 14x + 45\]<br /><br />Subtraindo 45 de ambos os lados, temos:<br /><br />\[-28 = 14x\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por 14, temos:<br /><br />\[x = -2\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção A: \(-2\).