Uma prancha de 10 m está apoiada em uma parede. Se, em um certo instante, sua base está a 2 m da parede e sendo empurrada em direção a esta a uma taxa de 0,5m/s com que rapidez estará crescendo o ângulo agudo que a prancha faz com o solo? (1.0 ponto)

Para resolver esse problema, podemos usar a trigonometria e a relação entre as dimensões da prancha e o ângulo que ela forma com o solo.<br /><br />Vamos chamar o ângulo agudo que a prancha faz com o solo de θ. Podemos usar a tangente desse ângulo para encontrar a relação entre a altura da prancha (h) e a distância da base da prancha até a parede (x):<br /><br />tan(θ) = h / x<br /><br />Quando a base da prancha está a 2 m da parede, a altura da prancha é de 10 m - 2 m = 8 m. Portanto, temos:<br /><br />tan(θ) = 8 m / 2 m = 4<br /><br />Agora, queremos encontrar a taxa de variação do ângulo θ em relação ao tempo. Podemos usar a regra da cadeia para derivar a equação da tangente em relação ao tempo:<br /><br />d(tan(θ)) / dt = (d(θ) / dt) * (sec^2(θ))<br /><br />Sabemos que a taxa de variação da altura da prancha em relação ao tempo é de 0,5 m/s. Podemos usar a derivada da altura em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação do ângulo:<br /><br />dh / dt = 0,5 m/s<br /><br />Agora, podemos usar a relação entre a altura e o ângulo para encontrar a taxa de variação do ângulo:<br /><br />tan(θ) = h / x<br /><br />d(tan(θ)) / dt = (dh / dt) / x - (h / x^2) * dx / dt<br /><br />Substituindo os valores conhecidos:<br /><br />tan(θ) = 4<br /><br />d(tan(θ)) / dt = (0,5 m/s) / 2 m - (8 m / (2 m)^2) * (-0,5 m/s)<br /><br />d(tan(θ)) / dt = 0,25 m/s - 2 m/s = -1,75 m/s<br /><br />Portanto, a taxa de variação do ângulo agudo que a prancha faz com o solo é de -1,75 rad/s.