Uma imensa geleira no Himalaia ocupava, a princípio, uma área de 45 quilômetros quadrados. Devido aos padrões de mudança climática , esta geleira começou a derreter e a área ocupada por ela começou a diminuir expor encialmente. A relação entre A , a área da geleira em quilômetros quadrados, e t, o número de anos durante os quais a geleira vem derretendo , é modelada pela equação a seguir. A=45e^-0,05t Quantos anos serão necessários para que a área da geleira diminua para 15 quilômetros quadrados? Dê uma resposta exata expressa como logaritmo natural. anos

Para determinar quantos anos serão necessários para que a área da geleira diminua para 15 quilômetros quadrados, podemos usar a equação dada:<br /><br />$A = 45e^{-0,05t}$<br /><br />Substituindo A por 15, temos:<br /><br />$15 = 45e^{-0,05t}$<br /><br />Podemos isolar o expoente, dividindo ambos os lados por 45:<br /><br />$\frac{15}{45} = e^{-0,05t}$<br /><br />Simplificando a fração:<br /><br />$\frac{1}{3} = e^{-0,05t}$<br /><br />Agora, podemos aplicar o logaritmo natural (ln) em ambos os lados da equação para eliminar o expoente:<br /><br />$ln(\frac{1}{3}) = ln(e^{-0,05t})$<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo natural, que diz que $ln(e^x) = x$, podemos simplificar a equação:<br /><br />$ln(\frac{1}{3}) = -0,05t$<br /><br />Agora, podemos isolar o tempo (t) dividindo ambos os lados por -0,05:<br /><br />$\frac{ln(\frac{1}{3})}{-0,05} = t$<br /><br />Simplificando a expressão:<br /><br />$t = \frac{ln(\frac{1}{3})}{-0,05}$<br /><br />Portanto, a resposta exata expressa como logaritmo natural é:<br /><br />$t = \frac{ln(\frac{1}{3})}{-0,05}$<br /><br />Essa expressão nos dá o número de anos necessários para que a área da geleira diminua para 15 quilômetros quadrados.