Questão 4: Exercicio 6.17 Considere o operador linear T sobre P_(2)(R) definido por: T(p(x))=xp'(x)+p''(x) Determine os autovalores e os autovetores do operador T.

Para determinar os autovalores e autovetores do operador T, precisamos encontrar os valores de λ para os quais existe um vetor não nulo v tal que T(v) = λv.<br /><br />Dado que T(p(x)) = xp'(x) + p''(x), podemos escrever a equação T(v) = λv como:<br /><br />xp'(x) + p''(x) = λv<br /><br />Agora, vamos encontrar os autovalores. Para isso, vamos considerar a equação característica associada a T:<br /><br />T(p(x)) - λp(x) = 0<br /><br />Substituindo T(p(x)) na equação, temos:<br /><br />xp'(x) + p''(x) - λp(x) = 0<br /><br />Para resolver essa equação diferencial, podemos usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos assumir que p(x) é uma solução da forma p(x) = ax^2 + bx + c, onde a, b e c são constantes.<br /><br />Substituindo p(x) na equação diferencial, temos:<br /><br />x(ax + b) + (2a + 2c) = λ(ax^2 + bx + c)<br /><br />Simplificando a equação, temos:<br /><br />ax^2 + bx + 2a + 2c = λax^2 + λbx + λc<br /><br />Igualando os coeficientes, obtemos:<br /><br />a = λa<br />b = λb<br />2a + 2c = λc<br /><br />A partir dessas equações, podemos ver que os autovalores são λ = 1, λ = 2 e λ = 3.<br /><br />Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.<br /><br />Para λ = 1, a equação se torna:<br /><br />ax^2 + bx + 2a + 2c = c<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />ax^2 + bx + a = 0<br /><br />A solução dessa equação quadrática é:<br /><br />x = (-b ± √(b^2 - 4a))/2a<br /><br />Portanto, o autovetor correspondente a λ = 1 é v1 = (1, -1, 1).<br /><br />Para λ = 2, a equação se torna:<br /><br />ax^2 + bx + 2a + 2c = 2c<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />ax^2 + bx = 0<br /><br />A solução dessa equação é:<br /><br />x = 0 ou x = -b/a<br /><br />Portanto, o autovetor correspondente a λ = 2 é v2 = (1, 0, 0).<br /><br />Para λ = 3, a equação se torna:<br /><br />ax^2 + bx + 2a + 2c = 3c<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />ax^2 + bx - a = 0<br /><br />A solução dessa equação é:<br /><br />x = (-b ± √(b^2 + 4a))/2a<br /><br />Portanto, o autovetor correspondente a λ = 3 é v3 = (1, 1, 1).<br /><br />Em resumo, os autovalores do operador T são λ = 1, λ = 2 e λ = 3, e os autovetores correspondentes são v1 = (1, -1, 1), v2 = (1, 0, 0) e v3 = (1, 1, 1).