Mostre que H:= a+bsqrt (3)vert a,bin Q) é subgrupo de (R,+)

Para mostrar que \( H \) é um subgrupo de \( \mathbb{R} \) sob a operação de adição, precisamos verificar três condições: fechamento, identidade e inverso.<br /><br />1. **Fechamento**: Se \( a + b\sqrt{3} \in H \) e \( c + d\sqrt{3} \in H \), então \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) \in H \). Para isso, basta mostrar que \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) = (a + c) + (b + d)\sqrt{3} \in H \). Como \( a, b, c, d \in \mathbb{Q} \), temos que \( a + c \in \mathbb{Q} \) e \( b + d \in \mathbb{Q} \). Portanto, \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) \in H \), o que prova o fechamento.<br /><br />2. **Identidade**: Devemos mostrar que existe um elemento neutro em \( H \) sob a operação de adição. O elemento neutro em \( \mathbb{R} \) é 0. Para mostrar que 0 pertence a \( H \), devemos encontrar \( a, b \in \mathbb{Q} \) tais que \( a + b\sqrt{3} = 0 \). Isso é possível, pois podemos escolher \( a = 0 \) e \( b = 0 \), o que nos dá 0. Portanto, 0 pertence a \( H \).<br /><br />3. **Inverso**: Para cada elemento \( a + b\sqrt{3} \in H \), devemos encontrar um elemento \( c + d\sqrt{3} \in H \) tal que \( (a + b\sqrt{3}) + (c + d\sqrt{3}) = 0 \). Isso é possível, pois podemos escolher \( c = -a \) e \( d = -b \), o que nos dá o inverso de \( a + b\sqrt{3} \) em \( H \).<br /><br />Portanto, \( H \) é um subgrupo de \( \mathbb{R} \) sob a operação de adição.