10) a) lim _(x arrow 25) (5-sqrt(x))/(25-x)=

Para resolver essa limitação, podemos usar a substituição de variáveis. Seja \( y = \sqrt{x} \), então \( x = y^2 \) e \( dx = 2y dy \). Substituindo essas variáveis na expressão original, temos:<br /><br />\( \lim _{y \rightarrow 5} \frac{5-y}{25-y^2} \cdot \frac{2y dy}{dx} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \lim _{y \rightarrow 5} \frac{2y dy}{dx} \cdot \frac{5-y}{25-y^2} \)<br /><br />Podemos ver que o termo \( \frac{2y dy}{dx} \) se cancela, pois não temos uma expressão para \( dy \) em termos de \( dx \). Portanto, a limitação se torna:<br /><br />\( \lim _{y \rightarrow 5} \frac{5-y}{25-y^2} \)<br /><br />Agora, podemos substituir \( y = 5 \) na expressão e calcular o valor:<br /><br />\( \frac{5-5}{25-5^2} = \frac{0}{25-25} = \frac{0}{0} \)<br /><br />Como obtemos uma forma indefinida \( \frac{0}{0} \), precisamos usar métodos alternativos para resolver essa limitação. Uma maneira de fazer isso é multiplicar o numerador e o denominador por \( \sqrt{x} + 5 \):<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 25} \frac{5-\sqrt{x}}{25-x} \cdot \frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+5} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 25} \frac{(5-\sqrt{x})(\sqrt{x}+5)}{(25-x)(\sqrt{x}+5)} \)<br /><br />O numerador se simplifica para \( 25 - x \), e o denominador também se simplifica para \( 25 - x \). Portanto, a limitação se torna:<br /><br />\( \lim _{x \rightarrow 25} \frac{1}{\sqrt{x}+5} \)<br /><br />Agora, podemos substituir \( x = 25 \) na expressão e calcular o valor:<br /><br />\( \frac{1}{\sqrt{25}+5} = \frac{1}{5+5} = \frac{1}{10} \)<br /><br />Portanto, a resposta correta é \( \frac{1}{10} \).