12.17 Titânia, a maior lua do planeta Urano, possui um raio igual 1/8 do raio da Terra e massa igual a 1/1.700 da massa da Terra. a) Qual é a aceleração da gravidade na superficic de Titânia? b) Qual é a densidade média de Titânia? (Esse valor é menor do que a densidade média das rochas . uma evidencia em favor da hipótese de que Titânia seja basicamente constituida por gelo.)

Para resolver essas questões, precisamos usar as fórmulas da gravidade e da densidade.<br /><br />### a) Aceleração da gravidade na superfície de Titânia<br /><br />A aceleração da gravidade \( g \) em um corpo celeste é dada pela fórmula:<br /><br />\[ g = \frac{GM}{R^2} \]<br /><br />onde:<br />- \( G \) é a constante gravitacional (\( 6.674 \times 10^{-11} \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{kg}^2 \)),<br />- \( M \) é a massa do corpo celeste,<br />- \( R \) é o raio do corpo celeste.<br /><br />Para Titânia:<br />- \( M_{\text{T}} = \frac{1}{1700} \times M_{\text{Terra}} \),<br />- \( R_{\text{T}} = \frac{1}{8} \times R_{\text{Terra}} \).<br /><br />Substituindo esses valores na fórmula:<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{G \left( \frac{1}{1700} \times M_{\text{Terra}} \right)}{\left( \frac{1}{8} \times R_{\text{Terra}} \right)^2} \]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{G \left( \frac{1}{1700} \times M_{\text{Terra}} \right)}{\frac{1}{64} \times R_{\text{Terra}}^2} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64G \left( \frac{1}{1700} \times M_{\text{Terra}} \right)}{R_{\text{Terra}}^2} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64G \times M_{\text{Terra}}}{1700 \times R_{\text{Terra}}^2} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 10^{-11} \times M_{\text{Terra}}}{1700 \times (6.371 \times 10^6)^2} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{1700 \times (4.038 \times 10^{13})^2} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 10^{-11} \times 5.972 \times 10^{24}}{1700 \times 16.243 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{1700 \times 16.243 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{64 \times 6.674 \times 5.972 \times 10^{13}}{27.396 \times 10^{26}} \]<br /><br />\[ g_{\text{T}} = \frac{