4. Determine o valer do sólido gerado pela rotacon em tomo da rita y=4 de resicico limitade por y=(1)/(x), y=4 e x=4

Para determinar o valor do sólido gerado pela rotação em torno da reta \( y=4 \) de uma região limitada por \( y=\frac{1}{x} \), \( y=4 \) e \( x=4 \), podemos usar o método dos discos ou anéis.<br /><br />Primeiro, vamos encontrar a área da região limitada por \( y=\frac{1}{x} \), \( y=4 \) e \( x=4 \). A área dessa região é dada pela integral definida:<br /><br />\[ A = \int_{1}^{4} \frac{1}{x} \, dx \]<br /><br />Calculando essa integral, obtemos:<br /><br />\[ A = \ln(4) \]<br /><br />Agora, para encontrar o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta \( y=4 \), podemos usar o método dos discos. O volume é dado pela integral definida:<br /><br />\[ V = \pi \int_{1}^{4} (4 - \frac{1}{x})^2 \, dx \]<br /><br />Calculando essa integral, obtemos:<br /><br />\[ V = \pi \left[ \int_{1}^{4} (16 - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^2}) \, dx \right] \]<br /><br />\[ V = \pi \left[ 16x - 8\ln(x) - \frac{1}{x} \right]_{1}^{4} \]<br /><br />\[ V = \pi \left[ (64 - 8\ln(4) - \frac{1}{4}) - (16 - 8\ln(1) - 1) \right] \]<br /><br />\[ V = \pi \left[ 64 - 8\ln(4) - \frac{1}{4} - 15 \right] \]<br /><br />\[ V = \pi \left[ 49 - 8\ln(4) - \frac{1}{4} \right] \]<br /><br />Portanto, o valor do sólido gerado pela rotação em torno da reta \( y=4 \) de uma região limitada por \( y=\frac{1}{x} \), \( y=4 \) e \( x=4 \) é dado por \( V = \pi \left[ 49 - 8\ln(4) - \frac{1}{4} \right] \).