Na área da astronomia e comunicaçōes por satélite, é essencial determinar a distância entre um satélite em órbita e 0 plano que representa a superficie da Terra. Essa medida é crucial para calcular a cobertura de sinal e garantir uma coml unicação eficiente. Um satélite está sob orbita no ponto P=(-4,2,5) e precisa ajustar sua posição até o plano TI 2x+y-2z+8=0 . Qual a distância que o satélite precisa percorrer, em unidades de comprimento?

Para determinar a distância que o satélite precisa percorrer para atingir o plano TI $2x+y-2z+8=0$, podemos utilizar o ponto $P=(-4,2,5)$ e o plano dado.<br /><br />Primeiro, precisamos encontrar a projeção ortogonal do ponto $P$ no plano. Para isso, podemos utilizar a fórmula da projeção ortogonal:<br /><br />$\text{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = \vec{v} - (\vec{v} \cdot \vec{n}) \cdot \vec{n}$<br /><br />Onde $\vec{v}$ é o vetor posição do ponto $P$ e $\vec{n}$ é o vetor normal ao plano.<br /><br />No caso do plano TI $2x+y-2z+8=0$, o vetor normal é dado por $\vec{n} = (2,1,-2)$.<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />$\text{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = (-4,2,5) - ((-4,2,5) \cdot (2,1,-2)) \cdot (2,1,-2)$<br /><br />Calculando o produto interno, temos:<br /><br />$(-4,2,5) \cdot (2,1,-2) = -8 + 2 - 10 = -16$<br /><br />Substituindo na fórmula, temos:<br /><br />$\text{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = (-4,2,5) - (-16) \cdot (2,1,-2)$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\text{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = (-4,2,5) + 32 \cdot (2,1,-2)$<br /><br />Calculando o produto escalar, temos:<br /><br />$32 \cdot (2,1,-2) = (64,32,-64)$<br /><br />Somando os vetores, temos:<br /><br />$\text{proj}_{\vec{n}}(\vec{v}) = (-4+64,2+32,5-64) = (60,34,-19)$<br /><br />Agora, podemos calcular a distância entre o ponto $P$ e a projeção ortogonal usando a fórmula da distância:<br /><br />$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$<br /><br />Onde $(x_1,y_1,z_1)$ são as coordenadas do ponto $P$ e $(x_2,y_2,z_2)$ são as coordenadas da projeção ortogonal.<br /><br />Substituindo os valores na fórmula, temos:<br /><br />$d = \sqrt{(60 - (-4))^2 + (34 - 2)^2 + (-19 - 5)^2}$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$d = \sqrt{(64)^2 + (32)^2 + (-24)^2}$<br /><br />Calculando as potências e somando, temos:<br /><br />$d = \sqrt{4096 + 1024 + 576}$<br /><br />$d = \sqrt{5696}$<br /><br />$d \approx 75,46$<br /><br />Portanto, o satélite precisa percorrer aproximadamente 75,46 unidades de comprimento para atingir o plano TI $2x+y-2z+8=0$.